Integrale di f(x)= x^2* arcsin(1-x^2)
Qualcuno saprebbe gentilmente spiegarmi come si risolve l'integrale indefinito di questa funzione? Integrale di f(x)= x^2* arcsin(1-x^2)
Sono al primo anno di ingegneria e questo é un esercizio di analisi I
Grazie a chiunque possa aiutarmi, non so proprio come fare!
Ciao a tutti!
Sono al primo anno di ingegneria e questo é un esercizio di analisi I
Grazie a chiunque possa aiutarmi, non so proprio come fare!
Ciao a tutti!
Risposte
Non ti viene in mente nessun teorema che potresti utilmente applicare al riguardo? Per risolvere gli integrali in genere sono due gli strumenti che usi: per parti o per sostituzione...poi certo bisogna sviluppare "il naso" per fiutare cosa conviene di più...per esempio puoi notare che l'integrando è il prodotto tra due funzioni...posta almeno un tentativo
Le ho davvero provate tutte, per parti, per sostituzione, per sostituzione con inversa, per sostituzione con cosh, tanh, sinh. Ho pure scritto al mio prof, ma anche lui, che l'aveva ideato lui l'esercizio, non riesce piu a trovare il bandolo della matassa. E i miei risultati non ci vanno neanche minimanente allasoluzione che dâ wolfram.
Mi sembra inutile infesciarvi il forum di roba inutile a tutti
se poi proprio volete, la copio
Mi sembra inutile infesciarvi il forum di roba inutile a tutti
se poi proprio volete, la copio
Provo e ti dico...wolframalpha dice che non e esprimibile elementarmente?
Non sono ancora arrivato a risolvere l'integrale, ma sono arrivato a buon punto...
Ponendo $x^2=sin^2 u$, da cui $u=\arcsin x$, l'integrale diventa
$\int u\cos u-u*cos^3 u du$
Integrando per parti otteniamo
$u\sin u+\sin u-\int u\cos^3 u$
Adesso occupiamoci del secondo pezzo
$\int u\cos^3 udu=u\int \cos^3 u du-\int\int \cos^3 u du du$
Integrando per parti si trova
$\int \cos^3 u du = \cos u\int cos^2 u du-\int \sin u\int \cos^2 u du du$
Ho calcolato $\int \cos^2 u = (\cos u \sin u + u)/2=(\sin (2u)+2u)/4$ (sempre per parti)
Sostituendo
$\int \cos^3 u du = \cos(u)((\sin 2u+2u)/4)-1/16 \int(\sin^2 2u+4u) du=\cos(u)((\sin 2u+2u)/4)-1/16\int \sin^2 2u du -u^2/8$
Ora dovremmo calcolare l'integrale di $\sin^2 2u$, ma per risparmiare conti, posto $\sin^2 u =1-\cos^2 u$, possiamo usare il risultato precedente, e ottenere
$\int \sin^2 2u du = 1/8(\sin 4u+4u)$.
Adesso sostituiamo nell'espressione precedente, e otteniamo
$\int \cos^3 u du = \cos u ((\sin 2u+2u)/4)-u^2/8-1/(16\cdot 8)(\sin 4u+4u)$
Adesso ci serve di nuovo integrare sta diavoleria; alcuni pezzi sono polinomi, insomma io mi sono condotto al seguente
$\int\int \cos^3 u du=\int \cos u (\sin 2u+2u)/4 du -u^3/24+1/(16\cdot 32)\cos 4u-1/64 u^2$
Come vedi manca un "pezzettino" da integrare...ma non penso assolutamente che sia difficile...
P.S. Mi viene in mente una cosa, quel $\sin 2u$ alla fine riportalo a $2\sin u \cos u$...in questo modo il fattore a moltiplicare sarà riconducibile ad altri integrali calcolati sopra...
Comunque per inciso, il tuo prof è un demonio
Ponendo $x^2=sin^2 u$, da cui $u=\arcsin x$, l'integrale diventa
$\int u\cos u-u*cos^3 u du$
Integrando per parti otteniamo
$u\sin u+\sin u-\int u\cos^3 u$
Adesso occupiamoci del secondo pezzo
$\int u\cos^3 udu=u\int \cos^3 u du-\int\int \cos^3 u du du$
Integrando per parti si trova
$\int \cos^3 u du = \cos u\int cos^2 u du-\int \sin u\int \cos^2 u du du$
Ho calcolato $\int \cos^2 u = (\cos u \sin u + u)/2=(\sin (2u)+2u)/4$ (sempre per parti)
Sostituendo
$\int \cos^3 u du = \cos(u)((\sin 2u+2u)/4)-1/16 \int(\sin^2 2u+4u) du=\cos(u)((\sin 2u+2u)/4)-1/16\int \sin^2 2u du -u^2/8$
Ora dovremmo calcolare l'integrale di $\sin^2 2u$, ma per risparmiare conti, posto $\sin^2 u =1-\cos^2 u$, possiamo usare il risultato precedente, e ottenere
$\int \sin^2 2u du = 1/8(\sin 4u+4u)$.
Adesso sostituiamo nell'espressione precedente, e otteniamo
$\int \cos^3 u du = \cos u ((\sin 2u+2u)/4)-u^2/8-1/(16\cdot 8)(\sin 4u+4u)$
Adesso ci serve di nuovo integrare sta diavoleria; alcuni pezzi sono polinomi, insomma io mi sono condotto al seguente
$\int\int \cos^3 u du=\int \cos u (\sin 2u+2u)/4 du -u^3/24+1/(16\cdot 32)\cos 4u-1/64 u^2$
Come vedi manca un "pezzettino" da integrare...ma non penso assolutamente che sia difficile...
P.S. Mi viene in mente una cosa, quel $\sin 2u$ alla fine riportalo a $2\sin u \cos u$...in questo modo il fattore a moltiplicare sarà riconducibile ad altri integrali calcolati sopra...
Comunque per inciso, il tuo prof è un demonio
Mi è venuta in mente un altra cosa...mi è venuta mentre cenavo
$\int x^2 \arccos(1-x^2)dx=\int x x\arccos(1-x^2)dx=x\int x\arccos(1-x^2)dx-$ $\int \int x\arccos(1-x^2)dxdx$
Ora si ha
$\int x\arccos(1-x^2)dx = 1/2 \int 2x\arccos(1-x^2)dx = -1/2\int \arccos(z) dz$ con $z=1-x^2$.
Si ha inoltre
$1/2\int\arccos z dz = 1/2\int 1\cdot \arccos z dz = 1/2 (z\arccos z-\int z/(\sqrt(1+z^2))dz)=1/2 (z\arccos z-1/2\int 2z/(\sqrt(1+z^2))dz)$
Ponendo $1+z^2 = h$, possiamo ancora una volta applicare la formula di integrazione per sostituzione
$-1/2\int 2z/(\sqrt(1+z^2))dz=-1/2\int 1/\sqrt(h) dh=-1/2\sqrt(h)=-1/2 \sqrt(1+z^2)=-1/2\sqrt(1+(1-x^2)^2)$
Adesso dovresti calcolarti $\int-1/2\sqrt(1+(1-x^2)^2)dx$...prova a farlo da solo, poi mi dici se ti torna il risultato...
$\int x^2 \arccos(1-x^2)dx=\int x x\arccos(1-x^2)dx=x\int x\arccos(1-x^2)dx-$ $\int \int x\arccos(1-x^2)dxdx$
Ora si ha
$\int x\arccos(1-x^2)dx = 1/2 \int 2x\arccos(1-x^2)dx = -1/2\int \arccos(z) dz$ con $z=1-x^2$.
Si ha inoltre
$1/2\int\arccos z dz = 1/2\int 1\cdot \arccos z dz = 1/2 (z\arccos z-\int z/(\sqrt(1+z^2))dz)=1/2 (z\arccos z-1/2\int 2z/(\sqrt(1+z^2))dz)$
Ponendo $1+z^2 = h$, possiamo ancora una volta applicare la formula di integrazione per sostituzione
$-1/2\int 2z/(\sqrt(1+z^2))dz=-1/2\int 1/\sqrt(h) dh=-1/2\sqrt(h)=-1/2 \sqrt(1+z^2)=-1/2\sqrt(1+(1-x^2)^2)$
Adesso dovresti calcolarti $\int-1/2\sqrt(1+(1-x^2)^2)dx$...prova a farlo da solo, poi mi dici se ti torna il risultato...
"newton_1372":
$\int x x\arccos(1-x^2)dx=x\int x\arccos(1-x^2)dx-$ $\int \int x\arccos(1-x^2)dxdx$
Non capisco il passaggio...
vedo l'integranda come il prodotto tra le funzioni $x$ e $x\arccos(1-x^2)$. Vedo $x\arccos(1-x^2)$.
Pongo $x=f(x)$ e $g'(x)=x\arccos(1-x^2)$. Ho applicato l'integrazione per parti...$\int g'f = gf-\int gf'$
Pongo $x=f(x)$ e $g'(x)=x\arccos(1-x^2)$. Ho applicato l'integrazione per parti...$\int g'f = gf-\int gf'$
Grazie a tutti dello sbatti che vi state facendo troppo gentili!
troppo gentili!
Comunque il metodo usato sopra e risolutivo $(x\cdot x\arcsin...)$...quando arrivi a calcolare l'integrale di quella radice quadrata alla fine non fare sostituzioni alla cieca...paradossalmente funziona tutto alla grande ponendo $y=1+(1-x^2)^2$
Non ho capito cosa sia il doppio integrale. Noi ad analisi I non lo abbiamo fatto
non è doppio integrale...è semplicemente l'integrale dell'integrale, cioè l'integrale della funzione F che ottieni integrando f
scusate ma è troppo difficile integrare per parti più volte? la prima volta poni $f(x)=x^2$ (che integri) e $g(x)=arcsin(1-x^2)$ (che derivi). quindi hai:
$ int x^2*arcsin(1-x^2) dx=x^3/3arcsin(1-x^2)-2/3int x^3*(-x)/(sqrt(1-(1-x^2)^2))dx= $
$ =x^3/3arcsin(1-x^2)-2/3int x^3*(-x)/(sqrt(1-1+2x^2-x^4))dx=x^3/3arcsin(1-x^2)-2/3int x^3*(-x)/(sqrt(2x^2-x^4))dx= $
$ x^3/3arcsin(1-x^2)+2/3int x^3/(sqrt(2-x^2))dx=x^3/3arcsin(1-x^2)-2/3int x^2*(-x)/(sqrt(2-x^2))dx $
risolvo solo la parte dentro l'integrale
$ int x^2*(-x)/(sqrt(2-x^2))dx=x^2*sqrt(2-x^2)-int1/2x*sqrt(2-x^2)dx=x^2*sqrt(2-x^2)-1/2*2/3(2-x^2)^(3/2) $
quindi
$ x^3/3arcsin(1-x^2)-2/3(4/3x^2-2/3)sqrt(2-x^2)+c $
spero di non aver sbagliato qualche passaggio XD
$ int x^2*arcsin(1-x^2) dx=x^3/3arcsin(1-x^2)-2/3int x^3*(-x)/(sqrt(1-(1-x^2)^2))dx= $
$ =x^3/3arcsin(1-x^2)-2/3int x^3*(-x)/(sqrt(1-1+2x^2-x^4))dx=x^3/3arcsin(1-x^2)-2/3int x^3*(-x)/(sqrt(2x^2-x^4))dx= $
$ x^3/3arcsin(1-x^2)+2/3int x^3/(sqrt(2-x^2))dx=x^3/3arcsin(1-x^2)-2/3int x^2*(-x)/(sqrt(2-x^2))dx $
risolvo solo la parte dentro l'integrale
$ int x^2*(-x)/(sqrt(2-x^2))dx=x^2*sqrt(2-x^2)-int1/2x*sqrt(2-x^2)dx=x^2*sqrt(2-x^2)-1/2*2/3(2-x^2)^(3/2) $
quindi
$ x^3/3arcsin(1-x^2)-2/3(4/3x^2-2/3)sqrt(2-x^2)+c $
spero di non aver sbagliato qualche passaggio XD
io ho la stessa idea che ha avuto l'utente victory92
a vista d'occhio..ma sono anche un po' stanco..mi sembra corretto..
una cosa..ho un dubbio su questo passaggio..non so..
$x^3\cdot (-x)/(\sqrt{2x^2-x^4})=(-x^3)/(\sqrt{2-x^2})$
non dovrebbe esserci il modulo?.. cioè se faccio $\sqrt{2x^2-x^4}=\sqrt{x^2(2-x^2)}=|x|\sqrt{2-x^2}$
a vista d'occhio..ma sono anche un po' stanco..mi sembra corretto..
una cosa..ho un dubbio su questo passaggio..non so..
$x^3\cdot (-x)/(\sqrt{2x^2-x^4})=(-x^3)/(\sqrt{2-x^2})$
non dovrebbe esserci il modulo?.. cioè se faccio $\sqrt{2x^2-x^4}=\sqrt{x^2(2-x^2)}=|x|\sqrt{2-x^2}$
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