Integrale di funzioni a valori in uno spazio normato
Buonasera ragazzi.
Qualche settimana fa il professore di Analisi ci parlò della possibilità di generalizzare il concetto di integrale di una funzione vettoriale $I\subseteq RR\to RR^n$ ad un generico spazio normato, in particolare di dare una definizione di integrale non in termini di componenti rispetto a una base (insomma, non una definizione come "l'integrale di un vettore è il vettore degli integrali delle componenti").
Sapreste darmi qualche riferimento, bibliografico o anche no (va benissimo anche una dispensina in rete)? Non sono riuscito a trovar niente
Qualche settimana fa il professore di Analisi ci parlò della possibilità di generalizzare il concetto di integrale di una funzione vettoriale $I\subseteq RR\to RR^n$ ad un generico spazio normato, in particolare di dare una definizione di integrale non in termini di componenti rispetto a una base (insomma, non una definizione come "l'integrale di un vettore è il vettore degli integrali delle componenti").
Sapreste darmi qualche riferimento, bibliografico o anche no (va benissimo anche una dispensina in rete)? Non sono riuscito a trovar niente
Risposte
Non so se c'entra: http://en.wikipedia.org/wiki/Vector_measure
EDIT: Anzi, credo proprio sia quello che cerchi. Che sappia io queste cose si trattano in teoria geometrica della misura.
EDIT: Anzi, credo proprio sia quello che cerchi. Che sappia io queste cose si trattano in teoria geometrica della misura.
Interessante ma no, non si credo si trattasse di questo 
Dovrebbe essere qualcosa di decisamente più semplice 
Mi spiego meglio, forse sono stato un po' vago. Sia a lezione, sia su un paio di libri di analisi due, si è data la definizione di integrale di Riemann di una funzione $f:[a,b]\to RR^n$, $f=(f_i)_{i=1,...,n}$, in termini di componenti, ovvero si dice che $f$ è integrabile se lo sono tutte le $f_i$, e in tal caso l'integrale di $f$ su $[a,b]$ è definito da
\[\int_a^b f(t)\ \text{d}t :=\left(\int_a^b f_1(t)\ \text{d}t ,\dots, \int_a^b f_n(t)\ \text{d}t\right) \]
Come ho detto, il professore ci avvertì della possibilità di sostituire $RR^n$ con un generico spazio normato $(E,"||"\cdot"||")$ e di non dare la definizione in termini di componenti. Più preciso di così non fu, ma non parlò di teoria della misura.
Spero sia chiaro!
Dovrebbe essere qualcosa di decisamente più semplice Mi spiego meglio, forse sono stato un po' vago. Sia a lezione, sia su un paio di libri di analisi due, si è data la definizione di integrale di Riemann di una funzione $f:[a,b]\to RR^n$, $f=(f_i)_{i=1,...,n}$, in termini di componenti, ovvero si dice che $f$ è integrabile se lo sono tutte le $f_i$, e in tal caso l'integrale di $f$ su $[a,b]$ è definito da
\[\int_a^b f(t)\ \text{d}t :=\left(\int_a^b f_1(t)\ \text{d}t ,\dots, \int_a^b f_n(t)\ \text{d}t\right) \]
Come ho detto, il professore ci avvertì della possibilità di sostituire $RR^n$ con un generico spazio normato $(E,"||"\cdot"||")$ e di non dare la definizione in termini di componenti. Più preciso di così non fu, ma non parlò di teoria della misura.
Spero sia chiaro!
E infatti è facile. Ci vuole che lo spazio in arrivo sia di Banach. Se vuoi integrare solo funzioni continue puoi rifare pari pari la costruzione di Riemann. (Se invece vuoi integrare anche funzioni più generali, ti serve la teoria di Bochner, che generalizza l'integrale di Lebesgue). Funziona così: se $E$ è uno spazio di Banach e $[a, b]$ un intervallo, lo spazio delle funzioni "a scalino":
\[
s(t)=\sum_{j=1}^n e_j \chi_{[\alpha_j, \alpha_{j+1})}, \]
(dove \(\{\alpha_j\}\) è una partizione di \([a, b]\)) è denso nello spazio delle funzioni continue \(C([a, b]\to E)\). Questo non è difficile da dimostrare, solo questione di uniforme continuità. Ma allora se noi definiamo un operatore lineare \(I\) sullo spazio delle funzioni a scalino, e questo operatore ha norma finita rispetto alla norma del sup, esso avrà un'unica estensione continua allo spazio \(C([a, b]\to E)\). Definendo
\[
I(s)=\sum_{j=1}^n e_j(\alpha_{j+1}-\alpha_j)\]
si ottiene l'integrale di Riemann.
Ne parlammo qualche anno fa qui.
\[
s(t)=\sum_{j=1}^n e_j \chi_{[\alpha_j, \alpha_{j+1})}, \]
(dove \(\{\alpha_j\}\) è una partizione di \([a, b]\)) è denso nello spazio delle funzioni continue \(C([a, b]\to E)\). Questo non è difficile da dimostrare, solo questione di uniforme continuità. Ma allora se noi definiamo un operatore lineare \(I\) sullo spazio delle funzioni a scalino, e questo operatore ha norma finita rispetto alla norma del sup, esso avrà un'unica estensione continua allo spazio \(C([a, b]\to E)\). Definendo
\[
I(s)=\sum_{j=1}^n e_j(\alpha_{j+1}-\alpha_j)\]
si ottiene l'integrale di Riemann.
Ne parlammo qualche anno fa qui.
Grande! Sempre pronto a darmi soccorso...in altomare
Non capisco una cosa. Prima di essere denso in $\mathcal{C}([a,b],E)$, lo spazio di queste funzioni a scalino, chiamiamolo $S([a,b],E)$, dev'essere contenuto in $\mathcal{C}([a,b],E)$: insomma, ogni funzione a scalino è continua?
Non capisco una cosa. Prima di essere denso in $\mathcal{C}([a,b],E)$, lo spazio di queste funzioni a scalino, chiamiamolo $S([a,b],E)$, dev'essere contenuto in $\mathcal{C}([a,b],E)$: insomma, ogni funzione a scalino è continua?
Ah già, è vero. Allora fai cosi': definisci uno spazio, buh, $X([a, b];E)$ come completamento dello spazio $S([a,b];E)$ rispetto alla norma uniforme (mi pare che Altomare le chiami funzioni regolate). Questo spazio contiene le funzioni continue eccetera eccetera. E' una specie di spazio delle funzioni integrabili secondo Riemann a valori vettoriali.
(Se $E=RR$ le funzioni regolate potrebbero anche coincidere con le funzioni Riemann integrabili, buh. Sicuramente qualcuno se ne sarà preoccupato, ma non mi pare molto interessante. )
(Se $E=RR$ le funzioni regolate potrebbero anche coincidere con le funzioni Riemann integrabili, buh. Sicuramente qualcuno se ne sarà preoccupato, ma non mi pare molto interessante. )
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