Integrale di funzione razionale fratta
Ciao e buona domenica a tutti, mi sono imbattuto pochi giorni fà in un integrale del tipo
$ int x/(ax^2+b*x+c)^2 dx $
ho letto su di un testo che la sua solzione è poi la combinazione di una parte ottenibile per integrazione per parti più un termine che si riconduce all' $arctan(x)$
qualcuno saprebbe illustrarmi come procedere per arrivare alla sua soluzione?
grazie in anticipo e buon pomeriggio!
$ int x/(ax^2+b*x+c)^2 dx $
ho letto su di un testo che la sua solzione è poi la combinazione di una parte ottenibile per integrazione per parti più un termine che si riconduce all' $arctan(x)$
qualcuno saprebbe illustrarmi come procedere per arrivare alla sua soluzione?
grazie in anticipo e buon pomeriggio!
Risposte
Dipende dal discriminante del polinomio:
$p(x):ax^2+bx+c$
${(Delta_(p(x))>=0 text{ si usa la scomposizione in fratti semplici}),(Delta_(p(x))<0 text { si sfrutta l'arcotangente}):}$
$p(x):ax^2+bx+c$
${(Delta_(p(x))>=0 text{ si usa la scomposizione in fratti semplici}),(Delta_(p(x))<0 text { si sfrutta l'arcotangente}):}$
ciao lordb, la funzione che ho scritto è già scomposta tramite la scomposizione in fratti, infatti se la si effettua ritorna la funzione di partenza, su delle dispense ho lette che si deve utilizzare l'intergazione per parti, mentre su wikipedia è dato come integrale notevole, io sinceramente non so come iniziare
Quindi $Delta_(p(x))<0$ ?
da come si lascia intendere nel testo che ho letto il calcolo è presentato indifferentemente dal delta, anche perchè la soluzione è proposta in maniera del tutto generalizzata per generici coefficienti
Ok, iniziamo: (sarà una lunga dimostrazione 
)
$int x/(ax^2+bx+c)^2 dx =_(a!=0) 1/(2a)*int (2ax)/(ax^2+bx+c)^2 dx = 1/(2a)*int (2ax+b-b)/(ax^2+bx+c)^2 dx =$
$=1/(2a)*int [(2ax+b)/(ax^2+bx+c)^2 + (-b)/(ax^2+bx+c)^2]dx=$
$=1/(2a)*[int (2ax+b)/(ax^2+bx+c)^2 dx -b int 1/(ax^2+bx+c)^2 dx ]=$
Il primo integrale è immediato:
$int (2ax+b)/(ax^2+bx+c)^2 dx = int 1/(ax^2+bx+c)^2 * (2ax+b) dx$
Chiamata $phi(x)=ax^2+bx+c$ si ha:
$int 1/(phi(x))^2*phi'(x)dx = int (phi(x))^(-2)*phi'(x)dx = (phi(x)^(-2+1))/(-2+1) = -phi(x)^(-1)=-1/(phi(x))$
Dunque:
$int 1/(ax^2+bx+c)^2 * (2ax+b) dx=-1/(ax^2+bx+c)$
Sostituiamolo:
$1/(2a)*[int (2ax+b)/(ax^2+bx+c)^2 dx -b int 1/(ax^2+bx+c)^2 dx ]=$
$=1/(2a)*[-1/(ax^2+bx+c)-b int 1/(ax^2+bx+c)^2 dx] =$
Abbiamo ricondotto il problema a calcolare l'integrale:
$int 1/(ax^2+bx+c)^2 dx$
Chiamiamo $p(x):ax^2+bx+c$ si ha che $p(x):(-Delta_(p(x)))/(4a)*(((x+b/(2a))/(sqrt(-Delta_(p(x))/(4a^2))))^2+ 1)$
Dimostrazione:
Quindi:
$int 1/(ax^2+bx+c)^2 dx = int 1/((-Delta_(p(x)))/(4a)*(((x+b/(2a))/(sqrt(-Delta_(p(x))/(4a^2))))^2+ 1))^2 dx=$
$= int 1/((-(Delta_(p(x)))/(4a))^2*(((x+b/(2a))/(sqrt((-Delta_(p(x)))/(4a^2))))^2+1)^2) dx=$
$=(16a^2)/(Delta^2_(p(x)))*int 1/(((x+b/(2a))/(sqrt(-Delta_(p(x))/(4a^2))))^2+1)^2 dx$
Facciamo prima una sostituzione di comodo: $(x+b/(2a))/(sqrt(-Delta_(p(x))/(4a^2)))=t$
Abbiamo che : $ x=t*sqrt(-Delta_(p(x))/(4a^2))-b/(2a) -> dx=sqrt(-Delta_(p(x))/(4a^2))dt$
$(16a^2)/(Delta^2_(p(x)))*int 1/(t^2+1)^2*sqrt(-Delta_(p(x))/(4a^2))dt =(16a^2)/(Delta^2_(p(x)))*sqrt(-Delta_(p(x))/(4a^2))*int 1/(t^2+1)^2dt$
Dunque:
$int 1/(ax^2+bx+c)^2 dx=(16a^2)/(Delta^2_(p(x)))*sqrt(-Delta_(p(x))/(4a^2))*int 1/(t^2+1)^2dt$
Concentramoci su $*int 1/(t^2+1)^2dt$ e facciamo la sostituzione $t=tan(k)->dt=1/(cos^2(k))dk$
$int 1/(t^2+1)^2dt=int 1/(tan^2(k)+1)^2 1/(cos^2(k))dk$
Notiamo subito il perchè di questa ultima sostituzione:
$1/(tan^2(k)+1)=1/((sin^2(k))/(cos^2(k)) +1) = 1 / (1/(cos^2(k)))= cos^2(k)$
Dunque:
$int 1/(t^2+1)^2dt=int cos^2(k) dk$
Con le formule di bisezione si ottiene subito:
$int cos^2(k) dk = 1/2*(k+cos(k) sin(k))$
Ma ora ricordiamo che $k=atan(t)$:
$int 1/(t^2+1)^2dt = 1/2*(atan(t)+cos(atan(t))*sin(atan(t)))$
Ricordiamo inoltre che:
$cos(atan(t))=1/sqrt(1+t^2)$
Dimostrazione:
$sin(atan(t))=t/sqrt(1+t^2)$
Dimostrazione:
Dunque: $cos(atan(t))*sin(atan(t))=t/(1+t^2)$
$int 1/(t^2+1)^2dt =1/2*(atan(t)+t/(1+t^2))$
$int 1/(ax^2+bx+c)^2 dx=(16a^2)/(Delta^2_(p(x)))*sqrt(-Delta_(p(x))/(4a^2))*1/2*(atan(t)+t/(1+t^2))dt$
Andiamo a ripescare $t$: $(x+b/(2a))/(sqrt(-Delta_(p(x))/(4a^2)))=t$
$int 1/(ax^2+bx+c)^2 dx = $
$=(16a^2)/(Delta^2_(p(x)))*sqrt(-Delta_(p(x))/(4a^2))*1/2*(atan((x+b/(2a))/(sqrt(-Delta_(p(x))/(4a^2))))+(x+b/(2a))/(sqrt(-Delta_(p(x))/(4a^2)))/(1+((x+b/(2a))/(sqrt(-Delta_(p(x))/(4a^2))))^2))$
Esplicitiamo $Delta_(p(x))=b^2-4ac$ per cercare di semplificare il termine ricorrente $(x+b/(2a))/(sqrt(-Delta_(p(x))/(4a^2)))$:
$(x+b/(2a))/(sqrt(-Delta_(p(x))/(4a^2)))=(x+b/(2a))/(sqrt((-b^2+4ac)/(4a^2)))=(b+2 a x)/sqrt(4 ac-b^2)$
$(16a^2)/(Delta^2_(p(x)))*sqrt(-Delta_(p(x))/(4a^2))=(8 a^2 sqrt((-b^2+4 a c)/a^2))/(b^2-4 a c)^2$
Quindi:
$int 1/(ax^2+bx+c)^2 dx = (8 a^2 sqrt((-b^2+4 a c)/a^2))/(b^2-4 a c)^2*1/2*(atan((b+2 a x)/sqrt(4 ac-b^2))+[(b+2 a x)/sqrt(4 ac-b^2)]/(1+((b+2 a x)/sqrt(4 ac-b^2))^2))$
Ora possiamo tornare all'inizio, dove avevamo :
$int x/(ax^2+bx+c)^2 dx =1/(2a)*[-1/(ax^2+bx+c)-b int 1/(ax^2+bx+c)^2 dx] $
Sostituendo:
$int x/(ax^2+bx+c)^2 dx = $
$= 1/(2a)*[-1/(ax^2+bx+c)-b *(8 a^2 sqrt((-b^2+4 a c)/a^2))/(b^2-4 a c)^2*1/2*(atan((b+2 a x)/sqrt(4 ac-b^2))+[(b+2 a x)/sqrt(4 ac-b^2)]/(1+((b+2 a x)/sqrt(4 ac-b^2))^2))] + C$
Con qualche semplificazione si ottiene:
$int x/(ax^2+bx+c)^2 dx = (-bx-2c)/((4ac-b^2)*(ax^2+bx+c))+(2b*atan((2ax+b)/(sqrt(4ac-b^2))))/((b^2-4ac)*(sqrt(4ac-b^2)))+C$
)$int x/(ax^2+bx+c)^2 dx =_(a!=0) 1/(2a)*int (2ax)/(ax^2+bx+c)^2 dx = 1/(2a)*int (2ax+b-b)/(ax^2+bx+c)^2 dx =$
$=1/(2a)*int [(2ax+b)/(ax^2+bx+c)^2 + (-b)/(ax^2+bx+c)^2]dx=$
$=1/(2a)*[int (2ax+b)/(ax^2+bx+c)^2 dx -b int 1/(ax^2+bx+c)^2 dx ]=$
Il primo integrale è immediato:
$int (2ax+b)/(ax^2+bx+c)^2 dx = int 1/(ax^2+bx+c)^2 * (2ax+b) dx$
Chiamata $phi(x)=ax^2+bx+c$ si ha:
$int 1/(phi(x))^2*phi'(x)dx = int (phi(x))^(-2)*phi'(x)dx = (phi(x)^(-2+1))/(-2+1) = -phi(x)^(-1)=-1/(phi(x))$
Dunque:
$int 1/(ax^2+bx+c)^2 * (2ax+b) dx=-1/(ax^2+bx+c)$
Sostituiamolo:
$1/(2a)*[int (2ax+b)/(ax^2+bx+c)^2 dx -b int 1/(ax^2+bx+c)^2 dx ]=$
$=1/(2a)*[-1/(ax^2+bx+c)-b int 1/(ax^2+bx+c)^2 dx] =$
Abbiamo ricondotto il problema a calcolare l'integrale:
$int 1/(ax^2+bx+c)^2 dx$
Chiamiamo $p(x):ax^2+bx+c$ si ha che $p(x):(-Delta_(p(x)))/(4a)*(((x+b/(2a))/(sqrt(-Delta_(p(x))/(4a^2))))^2+ 1)$
Dimostrazione:
Quindi:
$int 1/(ax^2+bx+c)^2 dx = int 1/((-Delta_(p(x)))/(4a)*(((x+b/(2a))/(sqrt(-Delta_(p(x))/(4a^2))))^2+ 1))^2 dx=$
$= int 1/((-(Delta_(p(x)))/(4a))^2*(((x+b/(2a))/(sqrt((-Delta_(p(x)))/(4a^2))))^2+1)^2) dx=$
$=(16a^2)/(Delta^2_(p(x)))*int 1/(((x+b/(2a))/(sqrt(-Delta_(p(x))/(4a^2))))^2+1)^2 dx$
Facciamo prima una sostituzione di comodo: $(x+b/(2a))/(sqrt(-Delta_(p(x))/(4a^2)))=t$
Abbiamo che : $ x=t*sqrt(-Delta_(p(x))/(4a^2))-b/(2a) -> dx=sqrt(-Delta_(p(x))/(4a^2))dt$
$(16a^2)/(Delta^2_(p(x)))*int 1/(t^2+1)^2*sqrt(-Delta_(p(x))/(4a^2))dt =(16a^2)/(Delta^2_(p(x)))*sqrt(-Delta_(p(x))/(4a^2))*int 1/(t^2+1)^2dt$
Dunque:
$int 1/(ax^2+bx+c)^2 dx=(16a^2)/(Delta^2_(p(x)))*sqrt(-Delta_(p(x))/(4a^2))*int 1/(t^2+1)^2dt$
Concentramoci su $*int 1/(t^2+1)^2dt$ e facciamo la sostituzione $t=tan(k)->dt=1/(cos^2(k))dk$
$int 1/(t^2+1)^2dt=int 1/(tan^2(k)+1)^2 1/(cos^2(k))dk$
Notiamo subito il perchè di questa ultima sostituzione:
$1/(tan^2(k)+1)=1/((sin^2(k))/(cos^2(k)) +1) = 1 / (1/(cos^2(k)))= cos^2(k)$
Dunque:
$int 1/(t^2+1)^2dt=int cos^2(k) dk$
Con le formule di bisezione si ottiene subito:
$int cos^2(k) dk = 1/2*(k+cos(k) sin(k))$
Ma ora ricordiamo che $k=atan(t)$:
$int 1/(t^2+1)^2dt = 1/2*(atan(t)+cos(atan(t))*sin(atan(t)))$
Ricordiamo inoltre che:
$cos(atan(t))=1/sqrt(1+t^2)$
Dimostrazione:
$sin(atan(t))=t/sqrt(1+t^2)$
Dimostrazione:
Dunque: $cos(atan(t))*sin(atan(t))=t/(1+t^2)$
$int 1/(t^2+1)^2dt =1/2*(atan(t)+t/(1+t^2))$
$int 1/(ax^2+bx+c)^2 dx=(16a^2)/(Delta^2_(p(x)))*sqrt(-Delta_(p(x))/(4a^2))*1/2*(atan(t)+t/(1+t^2))dt$
Andiamo a ripescare $t$: $(x+b/(2a))/(sqrt(-Delta_(p(x))/(4a^2)))=t$
$int 1/(ax^2+bx+c)^2 dx = $
$=(16a^2)/(Delta^2_(p(x)))*sqrt(-Delta_(p(x))/(4a^2))*1/2*(atan((x+b/(2a))/(sqrt(-Delta_(p(x))/(4a^2))))+(x+b/(2a))/(sqrt(-Delta_(p(x))/(4a^2)))/(1+((x+b/(2a))/(sqrt(-Delta_(p(x))/(4a^2))))^2))$
Esplicitiamo $Delta_(p(x))=b^2-4ac$ per cercare di semplificare il termine ricorrente $(x+b/(2a))/(sqrt(-Delta_(p(x))/(4a^2)))$:
$(x+b/(2a))/(sqrt(-Delta_(p(x))/(4a^2)))=(x+b/(2a))/(sqrt((-b^2+4ac)/(4a^2)))=(b+2 a x)/sqrt(4 ac-b^2)$
$(16a^2)/(Delta^2_(p(x)))*sqrt(-Delta_(p(x))/(4a^2))=(8 a^2 sqrt((-b^2+4 a c)/a^2))/(b^2-4 a c)^2$
Quindi:
$int 1/(ax^2+bx+c)^2 dx = (8 a^2 sqrt((-b^2+4 a c)/a^2))/(b^2-4 a c)^2*1/2*(atan((b+2 a x)/sqrt(4 ac-b^2))+[(b+2 a x)/sqrt(4 ac-b^2)]/(1+((b+2 a x)/sqrt(4 ac-b^2))^2))$
Ora possiamo tornare all'inizio, dove avevamo :
$int x/(ax^2+bx+c)^2 dx =1/(2a)*[-1/(ax^2+bx+c)-b int 1/(ax^2+bx+c)^2 dx] $
Sostituendo:
$int x/(ax^2+bx+c)^2 dx = $
$= 1/(2a)*[-1/(ax^2+bx+c)-b *(8 a^2 sqrt((-b^2+4 a c)/a^2))/(b^2-4 a c)^2*1/2*(atan((b+2 a x)/sqrt(4 ac-b^2))+[(b+2 a x)/sqrt(4 ac-b^2)]/(1+((b+2 a x)/sqrt(4 ac-b^2))^2))] + C$
Con qualche semplificazione si ottiene:
$int x/(ax^2+bx+c)^2 dx = (-bx-2c)/((4ac-b^2)*(ax^2+bx+c))+(2b*atan((2ax+b)/(sqrt(4ac-b^2))))/((b^2-4ac)*(sqrt(4ac-b^2)))+C$
Lord che dire...sei un grande! ti ringrazio davvero tanto per il tuo sforzo e per la tua esaustività, ora con calma leggerò tutta la dimostrazione (sul testo c'era scritto che era un pò lunga ma questa.... :-O)
Grazie davvero infinitamente e buona serata!!!
Grazie davvero infinitamente e buona serata!!!
Di niente, troppo gentile
Se hai qualche dubbio o qualche perplessità chiedi pure
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