Integrale di funzione razionale fratta
Devo svolgere il seguente integrale :
$ int_0^2(x^2+1)/(3x^2+5) $ . poichè il grado del numeratore è uguale a quello del denominatore possiamo eseguire la divisione ottenendo : $ (x^2+1)/(3x^2+5)= 1/3-2/(3(3x^2+5)) $ . A questo punto integriamo : $ int_0^2 1/3*dx-2/3int_0^2 1/(3x^2+5) $ Il primo integrale è banale in quanto $ int1/3*dx=1/3x+c $ ma l'altro termine non riesco a integrarlo.
So che $ int1/(x^2+1) *dx = arctanx+c $ ma non riesco a capire come trasformare l'integrale in questa forma !!
$ int_0^2(x^2+1)/(3x^2+5) $ . poichè il grado del numeratore è uguale a quello del denominatore possiamo eseguire la divisione ottenendo : $ (x^2+1)/(3x^2+5)= 1/3-2/(3(3x^2+5)) $ . A questo punto integriamo : $ int_0^2 1/3*dx-2/3int_0^2 1/(3x^2+5) $ Il primo integrale è banale in quanto $ int1/3*dx=1/3x+c $ ma l'altro termine non riesco a integrarlo.
So che $ int1/(x^2+1) *dx = arctanx+c $ ma non riesco a capire come trasformare l'integrale in questa forma !!
Risposte
"raffaele.russo2":
Devo svolgere il seguente integrale :
$ int_0^2 1/(3x^2+5) dx$
Prova a raccogliere $5$ avrai $3/5x^2$ e facendo la sostituzione $y=sqrt(3/5)x$ dovresti arrivare a risolvere facilmente l'integrale assegnato.
Ciao
esistono delle formule per scrivere immediatamente il risultato. ma di solito non si ricordano.
se sei alle prime armi, prova a fare la trasformazione in questo modo: dividi ogni termine per 5 (numero senza la x che sta al denominatore); poi applichi la formula $int\ (f'(x))/(1+(f(x))^2) dx = arctan f(x) +c$ moltiplicando e dividendo opportunamente per qualche numero.
prova e facci sapere. ciao.
se sei alle prime armi, prova a fare la trasformazione in questo modo: dividi ogni termine per 5 (numero senza la x che sta al denominatore); poi applichi la formula $int\ (f'(x))/(1+(f(x))^2) dx = arctan f(x) +c$ moltiplicando e dividendo opportunamente per qualche numero.
prova e facci sapere. ciao.
ho eseguito l'operazione che mi avete suggerito. Vi mostro tutti i passaggi così potete dirmi se sono corretti .
$ int_0^2 1/3dx-2/3*int_0^2 1/(3x^2+5)dx=int_0^2 1/3dx-2/3*sqrt(5/3)*int_0^2 (sqrt(3/5))/(1+3/5x^2)=[1/3x-(2sqrt(5))/(3sqrt(3))*arctansqrt(3/5)x]_0^2 $ $ =2/3-(2sqrt(5))/(3sqrt(3))*arctan2sqrt(3/5)+(2sqrt(5))/(3sqrt(3))*arctan0=2/3-(2sqrt(5))/(3sqrt(3))*arctan2sqrt(3/5) $ . La soluzione che compare negli esercizi è scritta in questo modo: $ 2/3-2/(3sqrt(15))*arctan2sqrt(3/5) $ . Quindi adesso mi chiedo se il risultato che ho ottenuto è una forma equivalente di quest'ultima.
PS: la radice comprende anche il denominatore cioè radice di 5/3 e radice di 3/5. non riesco a capire perchè la mette solo al numeratore.
$ int_0^2 1/3dx-2/3*int_0^2 1/(3x^2+5)dx=int_0^2 1/3dx-2/3*sqrt(5/3)*int_0^2 (sqrt(3/5))/(1+3/5x^2)=[1/3x-(2sqrt(5))/(3sqrt(3))*arctansqrt(3/5)x]_0^2 $ $ =2/3-(2sqrt(5))/(3sqrt(3))*arctan2sqrt(3/5)+(2sqrt(5))/(3sqrt(3))*arctan0=2/3-(2sqrt(5))/(3sqrt(3))*arctan2sqrt(3/5) $ . La soluzione che compare negli esercizi è scritta in questo modo: $ 2/3-2/(3sqrt(15))*arctan2sqrt(3/5) $ . Quindi adesso mi chiedo se il risultato che ho ottenuto è una forma equivalente di quest'ultima.
PS: la radice comprende anche il denominatore cioè radice di 5/3 e radice di 3/5. non riesco a capire perchè la mette solo al numeratore.
In altri termini la domanda è : scrivere $ 2/3-(2sqrt5)/(3sqrt3)*arctan2sqrt(3/5)$ oppure scrivere $ 2/3-2/(3sqrt15)*arctan2sqrt(3/5)$ è la stessa cosa????
$ int_0^2 1/3dx-2/3*int_0^2 1/(3x^2+5)dx=int_0^2 1/3dx-2/3*sqrt(5/3)*int_0^2 (sqrt(3/5))/(1+3/5x^2) $ in questo passaggio nel secondo integrale ti sei perso il fattore $1/5$. Solo a questo punto il risultato coincide con quello del tuo testo.
è giusto. avevo dimenticato il numeratore grazie deserto !!
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