Integrale di funzione non negativa,misurabile

[process11]

volevo chiedere un chiarimento su una dimostrazione, sulla quale ho dei dubbi(i dubbi li metto tra parentesi accanto ai passaggi)
sia $mu$ una misura su X e $f:X->[0,+infty]$ una funzione misurabile.
mostrare che se $mu(E)=0$ allora $int_(E)fdmu=0$
dimostrazione:
per definizione $int_(E)f=int_(X)fvarphi(_E)$ dove $varphi(E)$ è la funzione caratteristica dell'insieme E.
sempre per definizione di integrale di una funzione non negativa misurabile:
$\int_X(f)varphi_(E)=$sup${I(g) | g:X->R$ è una funzione semplice e misurabile e $ 0<=g<=fvarphi_(E)}$.
quindi, essendo $g$ semplice, pongo $g(X)={a_1,...,a_n}$. per definizione di integrale elementare di una funzione semplice ho che:
$I(g)=\sum_{a in g(X)}a_imu(E_i)$ dove $E_i={x in R : g(x)=a_i}$
e quindi:
$g(x)=\sum_{i=1}^Na_ivarphi_(E)<=fvarphi_(E)$ (per definizione di integrale)
ora mi pongo nel caso $a_i notin 0$ perchè se $a_i=0$ allora $I(g)$..(dubbio numero 1: non sono affatto sicuro di quello che ho scritto in questa riga: è giusto?)

Ora se $x notin E$, ho che $varphi_(E)(x)=0$. questo implica che :

$a_ivarphi_(E_i)(x)=0$ perchè $g(x)<=fvarphi_(E)$ e $varphi_(E)=0$ (dubbio numero 2: sono giuste le motivazioni di questo passaggio?)

Cioè, poichè $a_i notin 0$ , $varphi_(E_i)(x)=0$ dunque $x notin E_i$
se invece $x in E^c$ allora $E^c sub (E_i)^c$ (dubbio numero 3 : ha senso quello che ho scritto?) cioè per monotonia $mu(E_i) <= mu(E)$ ma per ipotesi $mu(E)=0$ dunque $I(g)=0$ e abbiamo la tesi.

[process11]

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[Rigel1]

Non ho seguito i tuoi passaggi; io mi limiterei a dire che qualsiasi funzione semplice $g$ tale che $0\le g \le f \phi_E$ è nulla quasi ovunque, dunque ha integrale nullo.