Integrale di Funzione Irrazionale
Ho provato a risolverlo... ma la soluzione non coincide.
Vi faccio vedere sin dove riesco ad arrivare:
$ int sqrt(1+x^2)dx = int (t^2+1)/(2t) * (t^2+1)/(2t^2)dt= int (t/2 + 1/(2t^3) + 1/t)dt= 1/4t^2 - 1/(4t^2) + logt + c $
$ sqrt(1+x^2)=t-x $ , $ t=x+sqrt(1+x^2) $ , $ x=(t^2-1)/(2t) $
$ dx = (t^2+1)/(2t^2)dt $
$ sqrt(1+x^2)=t-(t^2-1)/(2t)=(t^2+1)/(2t) $
la soluzione dovrebbe essere:
$ 1/2(xsqrt(1+x^2)+log(x+sqrt(1+x^2))+c $
purtroppo, effettuando la sostituzione finale, non mi ci ritrovo... dove sbaglio?
Grazie
Vi faccio vedere sin dove riesco ad arrivare:
$ int sqrt(1+x^2)dx = int (t^2+1)/(2t) * (t^2+1)/(2t^2)dt= int (t/2 + 1/(2t^3) + 1/t)dt= 1/4t^2 - 1/(4t^2) + logt + c $
$ sqrt(1+x^2)=t-x $ , $ t=x+sqrt(1+x^2) $ , $ x=(t^2-1)/(2t) $
$ dx = (t^2+1)/(2t^2)dt $
$ sqrt(1+x^2)=t-(t^2-1)/(2t)=(t^2+1)/(2t) $
la soluzione dovrebbe essere:
$ 1/2(xsqrt(1+x^2)+log(x+sqrt(1+x^2))+c $
purtroppo, effettuando la sostituzione finale, non mi ci ritrovo... dove sbaglio?
Grazie

Risposte
Perché non provi con una sostituzione trigoniometrica od iperbolica?
L'esercizio andrebbe risolto con le sostituzioni di Eulero, secondo il libro...
Cioè quella che usi tu?
Allora controllerò i conti! 
EDIT: Non dovrebbe uscire nella funzione integranda con a sostituzione [tex]$\frac{1}{4t^3}$[/tex] ed [tex]$\frac{1}{2t}$[/tex]?


EDIT: Non dovrebbe uscire nella funzione integranda con a sostituzione [tex]$\frac{1}{4t^3}$[/tex] ed [tex]$\frac{1}{2t}$[/tex]?
ok, devo aver fatto un po' di confusione nella trascrizione...
$ int sqrt(1+x^2) = int (t/4+1/(4t^3)+1/(2t))dt $
...dovrebbe essere così, ma ancora non ci siamo ^^'
$ int sqrt(1+x^2) = int (t/4+1/(4t^3)+1/(2t))dt $
...dovrebbe essere così, ma ancora non ci siamo ^^'
Il mio libro di teoria, in questo caso, utilizza la sostituzione [tex]$t+x$[/tex].
Per quanto riguarda i tuoi conti dovrei farli a mano e non a mente.
Per quanto riguarda i tuoi conti dovrei farli a mano e non a mente.

uh! Provo con t+x

...non ne vengo a capo

se lo fai per parti ti viene.....
L'obiettivo è risolverlo con le sostituzioni di Eulero...