Integrale di funzione irrazionale

[radamirez]

raga una mano su questo integrale perfavore

$ int x^2 /(1+2x)^1/3 dx $

ho posto $ t= (1+2x)^3 $

poi mi ricavo $ x = (t^3 -1 ) / 2 $

$ dx= dt 2/ (3 t^2) $

alla fine ottengo come risultato

$ 1/6 (1+2x)^4/3 - 4(1+2x)^1/3 -1/3 17(1+2x)^2/3 +c $

ma è errato come risultato
ho ricontrollato non so dove sbaglio

[andar9896]

Dalla sostituzione $t=root(3)(1+2x)$ deriva che $x=(t^3-1)/2$ e $dx=3/2 t^2dt$. L'integrale diventa così
$int 3/8 (t^3-1)^2/t dt$ che, sviluppando il quadrato e dividendo per $t$ dovresti saper risolvere.

[cooper1]

"radamirez":ho ricontrollato non so dove sbaglio

mi sembra di aver trovato due errori:
1. con la sostituzione che hai fatto dovresti trovare $ x=(root(3)((t))-1)/2 $
2. se anche avessi calcolato correttamente la x hai sbagliato a trovare dx. si ha infatti che $ dx=3/2t^2dt $ e non quello che hai calcolato tu ( $ dx=2/(3t^2)dt $ ).

[radamirez]

forse ero stanco, mi sono confuso perchè invece di fare la derivata difficile della x che c'è la radice, si può fare quella della t che mettendola dall'altro lato, rimane uguale.
grazie raga

ne ho un altro pultroppo, se potete aiutarmi
sempre una funzione irrazionale

$ int (3x+2)^(1/4) / ( (3x+2) (1+ (3x+2)^(1/4) )^(1/2) dx $

ho fatto mcm di 4,1,8 = 8
quindi $ t^8 =3x+2 $

poi mi esce
$ int t^2 /( t^8 (1+t)) t^7*8/3 dt $

semplifico e divido mi esce
$ 8/3( t - arctg(t)) +c $

risultato ovviamente errato

[andar9896]

Attenzione perché semplificando ottieni:
$int 3/8 t/(1+t^2) dt$ la cui primitiva non è l'arcotangente!

Comunque, prova a derivare $sqrt(1+root(4)(3x+2))$ e avrai una sorpresa

[radamirez]

"andar9896":Attenzione perché semplificando ottieni:
$int 3/8 t/(1+t^2) dt$ la cui primitiva non è l'arcotangente!

Comunque, prova a derivare $sqrt(1+root(4)(3x+2))$ e avrai una sorpresa

non ho capito perchè a te esce al denominatore 1+t^2 a me esce 1+t

però apposto
da $ int t^2 /(t^8 (1+t) ) 8/3t^7 dt $

semplifico e ottengo
$ 8/3 int t /(1+t) dt $

poi faccio la divisione ed esce Q(x)=1 e R(x)=-1

quindi
$ 8/3 int 1 - 1/ (t+1) dt $

e questo lo so risolvere
$ 8/3 t - 8/3 log (1+t) +c $

credo sia così

[andar9896]

Scusa tu poni $t^8=3x+2$ quindi i $root(4)(3x+2)$ al numeratore e al denominatore dovranno essere entrambi $t^2$ no?

[radamirez]

"andar9896":Scusa tu poni $t^8=3x+2$ quindi i $root(4)(3x+2)$ al numeratore e al denominatore dovranno essere entrambi $t^2$ no?

numeratore si ,
ma denominatore ha anche la radice quadrata che lo comprende
perche 1+ t^1/4 è sotto la radice quadrata, per questo ho fatto t^8

[andar9896]

Stiamo facendo confusione entrambi

Allora partiamo da qui: $int root(4)(3x+2)/((3x+2)sqrt(1+root(4)(3x+2))) dx$
Scegliamo la tua sostituzione $t^8=3x+2$ (ma potremmo anche benissimo fare alla quarta) ottenendo che $dx=8/3t^7dt$. Dunque:
$int t^2/(t^8*sqrt(1+t^2)) * 8/3 t^7dt = int 8/3 t/sqrt(1+t^2) dt$ che è immediato.

[radamirez]

graziee