Integrale di funzione discontinua in molti punti
Chiedo un vostro aiuto per risolvere un esercizio proposto in un tutoraggio di analisi.
Sia:
$f(x)= 0$ se $x in [0,1)\\ QQ $
$f(x)= 1/n$ se $x in [0,1) nn QQ$, $x=m/n$ con m,n primi tra loro
Dimostrare che f è integrabile secondo Riemann in [0,1) e calcolare $ int_(0)^(1) f(x) dx $
Determinare l'insieme dei punti di discontinuità di $f$.
So che esiste un teorema che afferma che se una funzione definita su un intervallo ha un insieme numerabile di punti di discontinuità ed è limitata allora è integrabile. Però non saprei come calcolare l'integrale.
Sia:
$f(x)= 0$ se $x in [0,1)\\ QQ $
$f(x)= 1/n$ se $x in [0,1) nn QQ$, $x=m/n$ con m,n primi tra loro
Dimostrare che f è integrabile secondo Riemann in [0,1) e calcolare $ int_(0)^(1) f(x) dx $
Determinare l'insieme dei punti di discontinuità di $f$.
So che esiste un teorema che afferma che se una funzione definita su un intervallo ha un insieme numerabile di punti di discontinuità ed è limitata allora è integrabile. Però non saprei come calcolare l'integrale.
Risposte
E' un classico dell'integrazione secondo Riemann. Se n'è parlato molte volte qui sul forum. Provato a fare una ricerca?
Aggiungo [url=http://en.wikipedia.org/wiki/Thomae's_function]questo[/url] e questo; se ricordo bene, l'argomento è anche molto approfondito nel Benedetto-Czaja, Integration and modern analysis.
Aggiungo [url=http://en.wikipedia.org/wiki/Thomae's_function]questo[/url] e questo; se ricordo bene, l'argomento è anche molto approfondito nel Benedetto-Czaja, Integration and modern analysis.
Ho cercato ma non ho trovato. Chiedo scusa se ho aperto un doppione. Potresti indicarmi una discussione simile?
Grazie intanto per i riferimenti alle pagine.
Grazie intanto per i riferimenti alle pagine.
Vedo che ci sono molti relink già nella pagina che mi hai indicato. Grazie mille.
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