Integrale di freedholm

[keiler]

Ciao a tutti sono nuovo del forum.

Aimè a breve ho un esame di metodi e modelli matematici della fisica ed ho dei problemi con gl'integrali di freedholm. In pratica mi servirebbe qualche esempio di come svolgerli passo passo perchè su internet non son riuscito a trovare nulla e sul libro di testo c'è solo la spiegazione teorica abbastanza difficile da capire.

Per esempio mi piacerebbe capire come svolgere questi due integrali:
\[
Kf(t) = \int_{-1}^1 (s + t)\ f(s)\ \text{d} s
\]
\[
Kf (t) = \int_{-1}^1 (t^2 s +s^2t)\ f(s)\ \text{d} s
\]

grazie in anticipo!

[gugo82]

Che vuol dire per te "svolgere" quegli integrali?

Inoltre, che significa il \(*\)?

[keiler]

il * sta per la moltiplicazione. In pratica K(t) è un'operatore e devo dimostrare se è autoaggiunto, calcolarne lo spettro e le relative autofunzioni.

[gugo82]

Ah, ecco... Allora metti un po' a posto le formule: ad esempio, \(*\) lo puoi anche eliminare; inoltre, \(K\) è un operatore che agisce sulla funzione \(f\) e non sulla variabile indipendente \(t\), perciò potresti denotarlo con \(Kf(t)\) oppure con \(K[f](t)\)... Ma certamente \(K(t)\) non è una buona notazione.

Per quanto riguarda lo studio degli operatori integrali, alcuni esercizi li trovi già svolti sul forum (ad esempio qui), quindi potresti cominciare a ragionare suoi tuoi esercizi muovendoti per analogia.

[keiler]

Allora io da quel che so per trovare autovalori ed autofunzioni bisogna dividere le variabili così escono fuori due integrali in ds. Però sinceramente dopo aver diviso le variabili non so proprio cosa fare, per questo mi servirebbe un'aiuto, magari un esercizio svolto per avere le idee più chiare. Qualcuno può aiutarmi pls?

[gugo82]

Un esercizio svolto te l'ho linkato: l'hai guardato?

Per quanto riguarda il resto, non specifichi in quale spazio funzionale ti stai muovendo (in un \(L^p\)? magari in \(L^2\)? in \(C^0\)? oppure in qualche spazio più "complicato"?) e, dato che un operatore non conserva le stesse caratteristiche se gli cambi il dominio ed il codominio, con le informazioni che ci hai fornito non è possibile nemmeno cominciare a svolgere lo studio di quegli operatori lì.

Quando chiarirai bene i contorni dei tuoi problemi, ti daremo una mano.

[keiler]

ehmm si scusami mi ero dimenticato di mettere lo spazio. Si tratta di L2. Si ho guardato gli esercizi che mi hai linkato ma non ce n'è uno simile a quelli che mi servono quindi per il momento non mi servono,comunque grazie .

[gugo82]

Non ce n'è uno simile!?!?
Ma se abbiamo fatto proprio lo studio dell'operatore in quel thread...

Ad ogni modo...

Consideriamo l'operatore:
\[
T: L^2 (-1,1)\ni f(t) \mapsto \int_{-1}^1 k(t,s)\ f(s)\ \text{d} s \in L^2(-1,1)
\]
con il nucleo \(k(t,s):=t+s\); la legge di assegnazione si scrive esplicitamente:
\[
Tf(t) = \int_{-1}^1 (t+s)\ f(s)\ \text{d} s= t\ \int_{-1}^1 f(s)\ \text{d} s + \int_{-1}^1 s\ f(s)\ \text{d} s\; .
\]
L'operatore è evidentemente definito ovunque in \(L^2(-1,1)\): infatti gli integrali che figurano all'ultimo membro della precedente sono finiti per ogni \(f\in L^2(-1,1)\) (per Cauchy-Schwarz), e dunque l'ultimo membro è ben definito come funzione di \(t\).
Inoltre, possiamo dire subito che il range dell'operatore è il sottospazio di \(L^2(-1,1)\) costituito dalle funzioni lineari, i.e. \(T(L^2(-1,1)):=\{at+b, a,b\in \mathbb{R}\}\subseteq L^2(-1,1)\) (perché?).

L'operatore \(T\) è evidentemente lineare (perché?).
Inoltre \(T\) è limitato e ciò si prova, ad esempio, applicando Cauchy-Schwarz all'integrale più interno in:
\[
\lVert Tf\rVert_2^2 = \int_{-1}^1 \left( \int_{-1}^1 (t+s)\ f(s)\ \text{d} s \right)^2\ \text{d} t
\]
(procedendo in questo modo trovi anche una stima dall'alto della norma operatoriale di \(T\) e ti puoi divertire a mostrare se quella trovata è proprio la norma dell'operatore o no): ti lascio fare i conti, altrimenti sembra che faccio tutto io.

L'operatore \(T\) è "a rango finito" (i.e. il suo range è finito-dimensionale, come visto prima), quindi l'operatore è ovviamente compatto (perché?).

L'operatore ha il nucleo \(k(t,s)\) simmetrico (i.e. \(k(t,s)=k(s,t)\)), quindi \(T\) è chiaramente autoaggiunto (perché?).

Dalla teoria di Fredholm discende che \(T\) ha al più una successione decrescente ed infinitesima di autovalori positivi; per determinare tali autovalori e le relative autofunzioni dobbiamo risolvere l'equazione funzionale:
\[
\tag{1} Tf(t)=\lambda\ f(t)\; ,
\]
tenendo presente che la \(f(t)\) non ha da essere l'applicazione nulla.
Se \(\lambda f(t)\) è uguale a \(Tf(t)\), allora esistono due numeri reali tali che \(\lambda f(t) =at+b\) (perché il range di \(T\) è fatto da polinomi di primo grado) e dunque \(f(t)\) è necessariamente una funzione lineare; conseguentemente possiamo cercare le autofunzioni direttamente nella forma \(f(t)=at+b\), con almeno uno tra \(a\) e \(b\) non nullo. Sostituendo nell'equazione degli autovalori (1) troviamo:
\[
t \int_{-1}^1 (as+b)\ \text{d} s +\int_{-1}^1s(as+b)\ \text{d} s= \lambda a t +\lambda b
\]
ossia:
\[
t \Big[ \frac{a}{2}s^2 +bs\Big]_{-1}^1 + \Big[ \frac{a}{3} s^3 +\frac{b}{2}s^2\Big]_{-1}^1 = \lambda a t+\lambda b
\]
ovvero:
\[
2b t +\frac{2a}{3} = \lambda a t +\lambda b \; ;
\]
ora, per il Principio d'Identità dei Polinomi, la precedente può sussistere se e solo se:
\[
\begin{cases}
2b=\lambda a\\
\frac{2a}{3} =\lambda b\; ,
\end{cases}
\]
da cui si trae \(a\neq 0 \neq b\) (perché se fosse \(a=0\) allora risulterebbe anche \(b=0\), e viceversa; ma ciò non è possibile, perché abbiamo detto che almeno uno dei coefficienti deve essere non nullo), quindi \(\lambda\neq 0\) ed anche \(\frac{2b}{a}=\frac{2a}{3b}\) cioè \(3b^2=a^2\) e dunque:
\[
a=\pm \sqrt{3}\ b\; .
\]
Conseguentemente ci sono due tipi di autofunzioni:

[*:16epm98h]o le funzioni lineari proporzionali a \(f_1(t) =-\sqrt{3}\ t+1\), che sono associate all'autovalore \(\lambda_1=-\frac{2}{\sqrt{3}}\),

[/*:m:16epm98h]
[*:16epm98h] oppure quelle proporzionali a \(f_2(t)=\sqrt{3}\ t+1\), associate all'autovalore \(\lambda_2=\frac{2}{\sqrt{3}}\).[/*:m:16epm98h][/list:u:16epm98h]