Integrale di e ^( -4-1/3*x^3)
come faccio a calcolare integrale di $
Risposte
Torno a ribadire che secondo me v'è stata una cattiva interpretazione della traccia, sia ben chiaro non do la colpa a te anig82, può capitare 
. Così com'è l'esercizio non mi dice nulla..
. Così com'è l'esercizio non mi dice nulla..
ok la traccia è trovare con qualche artifizio una soluzione non nulla dell'equazione y''-4y'+ $ (x)^(2) $ (y'-4y)=0
trovare inoltre una soluzione della
y''-4y'+ $ (x)^(2) $ (y'-4y)=2x $ e^{(-(x)^(3))/3 } $
tale che y(0)=0 e y'(0)=4
questa è la traccia dell'esercizio
trovare inoltre una soluzione della
y''-4y'+ $ (x)^(2) $ (y'-4y)=2x $ e^{(-(x)^(3))/3 } $
tale che y(0)=0 e y'(0)=4
questa è la traccia dell'esercizio
Per quanto riguarda l'esercizio, ci ho provato fino ad ora ma non riuscivo a cavare un ragno dal buco, ma poi rileggendo per l'n-esima volta la traccia mi sono accorto di un articolo indeterminativo che sembrerebbe ininfluente, ma in realtà nasconde la soluzione 
Poichè è richiesto di trovare una soluzione dell'equazione differenziale allora ne mostreremo una solamente (o meglio una famiglia)
[tex]y''(x)-4y'(x)+ x^2 (y'(x)-4y(x)) =0[/tex]
Ebbene, il mio primo tentativo fu quello di trovare l'integrale generale, senza riuscirci, questo perchè mi imbattevo nell'intergrale "irrisolubile". Ad un certo punto mi sono detto: "vabbè abbiamo una somma, se gli addendi sono nulli allora essa sarà zero", così ho continuato in questo modo:
Se [tex]y'(x)-4y(x)=_{(1.1)} 0[/tex] allora [tex]y''(x)-4y'(x)=0[/tex] e quindi [tex]y''(x)-4y'(x)+ x^2(y'(x)-4y(x))=0[/tex] e l'equazione è soddisfatta.
Bene allora è sufficiente risolvere l'equazione differenziale del primo ordine [tex]y'(x)-4y(x)=0[/tex] ed abbiamo finito
Facilmente la famiglia di funzioni che soddisfa [tex](1.1)[/tex] è [tex]y_c(x)= c e^{4 x}[/tex] con [tex]c[/tex] costante reale non nulla. Questa famiglia soddisfa anche l'equazione differenziale originaria.
Per la seconda ci devo pensare ma tra un po' devo andare a cenare
Poichè è richiesto di trovare una soluzione dell'equazione differenziale allora ne mostreremo una solamente (o meglio una famiglia)
[tex]y''(x)-4y'(x)+ x^2 (y'(x)-4y(x)) =0[/tex]
Ebbene, il mio primo tentativo fu quello di trovare l'integrale generale, senza riuscirci, questo perchè mi imbattevo nell'intergrale "irrisolubile". Ad un certo punto mi sono detto: "vabbè abbiamo una somma, se gli addendi sono nulli allora essa sarà zero", così ho continuato in questo modo:
Se [tex]y'(x)-4y(x)=_{(1.1)} 0[/tex] allora [tex]y''(x)-4y'(x)=0[/tex] e quindi [tex]y''(x)-4y'(x)+ x^2(y'(x)-4y(x))=0[/tex] e l'equazione è soddisfatta.
Bene allora è sufficiente risolvere l'equazione differenziale del primo ordine [tex]y'(x)-4y(x)=0[/tex] ed abbiamo finito
Facilmente la famiglia di funzioni che soddisfa [tex](1.1)[/tex] è [tex]y_c(x)= c e^{4 x}[/tex] con [tex]c[/tex] costante reale non nulla. Questa famiglia soddisfa anche l'equazione differenziale originaria.
Per la seconda ci devo pensare ma tra un po' devo andare a cenare
no....la soluzione della omogenea la ricaviamo con l'applicazione di un teoremaper il calcolo delle equazioni differenziali ordinarie per la soluzione della non omogenea va calcolato il wronskiano
"anig82":
no....la soluzione della omogenea la ricaviamo con l'applicazione di un teoremaper il calcolo delle equazioni differenziali ordinarie per la soluzione della non omogenea va calcolato il wronskiano
Pensavo di aver risolto almeno in parte l'esercizio. Lascio la palla a qualcuno più ferrato di me, ce ne sono tanti qui e visto che non sono in grado di risolverlo, sarei curioso di sapere come va a finire la storia 
dopo averci pensato tutto il giorno mi è venuto in mente una cosa è possibile sviluppare l'integrale di e^(-x^3/3)
come serie di taylor??? ci ho provato ho trovato questa
x $ (x)^(4) /12+(x)^(7)/126 $ +.....
come serie di taylor??? ci ho provato ho trovato questa
x $ (x)^(4) /12+(x)^(7)/126 $ +.....
@ anig82: Visto che l'equazione è:
scommetto che hai introdotto la variabile ausiliaria [tex]$z=y^\prime -4y$[/tex] e trasformato il problema in due equazioni accoppiate da risolvere in successione, cioè:
[tex]$\begin{cases} z^\prime +x^2\ z=0 \\ y^\prime -4y=z\end{cases}$[/tex].
Questo metodo è buono, ma ti consente di scrivere la soluzione in una forma complicata che non si può trasformare in un'espressione elementare.
Cercare un'espressione in serie di potenze potrebbe funzionare, ma probabilmente non sarà semplice né esprimere in forma chiusa le relazioni ricorrenti sui coefficienti, né sommare la serie risultante... Prova e vedi che ne esce.
Secondo me l'artificio migliore (cioè più rapido ed indolore) per determinare una soluzione della EDO dotata di espressione elementare te l'ha suggerito Mathematico.
Cercare di capirlo mi sembra una buona cosa.
@ Mathematico: Complimenti vivissimi!
"Mathematico":
[tex]y''(x)-4y'(x)+ x^2 (y'(x)-4y(x)) =0[/tex]
scommetto che hai introdotto la variabile ausiliaria [tex]$z=y^\prime -4y$[/tex] e trasformato il problema in due equazioni accoppiate da risolvere in successione, cioè:
[tex]$\begin{cases} z^\prime +x^2\ z=0 \\ y^\prime -4y=z\end{cases}$[/tex].
Questo metodo è buono, ma ti consente di scrivere la soluzione in una forma complicata che non si può trasformare in un'espressione elementare.
Cercare un'espressione in serie di potenze potrebbe funzionare, ma probabilmente non sarà semplice né esprimere in forma chiusa le relazioni ricorrenti sui coefficienti, né sommare la serie risultante... Prova e vedi che ne esce.
Secondo me l'artificio migliore (cioè più rapido ed indolore) per determinare una soluzione della EDO dotata di espressione elementare te l'ha suggerito Mathematico.
Cercare di capirlo mi sembra una buona cosa.
@ Mathematico: Complimenti vivissimi!
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