Integrale di Curva di seconda specie
Ciao a tutti, questo argomento sta risultando particolarmente ostico alla mia comprensione, avrei quindi due domande da porvi a proposito ( premetto che frequento il secondo anno di corso di Fisica generale all'università ). I problemi sono i due seguenti: innanzitutto, data una forma differenziale, il mio libro ( Pagani - Salsa, analisi matematica 2 ) afferma che se partendo da tale forma differenziale è possibile costruire una funzione scalare detta potenziale, U(x,y,z), allora la forma differenziale è esatta. Ho pensato a cosa può significare questo, e mi è venuto in mente che probabilmente ci dice che, dato il campo vettoriale F e il vettore spostamento, ad ogni punto dello spazio corrisponde un unico valore del differenziale; poi ho pensato al "significato fisico" di questo: mi chiedevo quindi, nel caso della forza d'attrito, la funzione potenziale non esiste perché il campo vettoriale che utilizzo per fare l'integrale non è costante, o per altri motivi? E inoltre: come può essere formalizzato questo, ovvero come posso scrivere matematicamente questa cosa che il campo dipende dal verso di percorrenza e che quindi non c'è un campo scalare "potenziale" stabile ( ammesso che sia questo il motivo per il quale la forza d'attrito non è conservativa )?
Per meglio dire vorrei capire perché ( e come si vede questo ), nel caso della forza d'attrito il rotore del campo non è uguale a zero ( condizione che il mio libro di analisi esplicita poco dopo come necessaria ma non sufficiente affinché un campo potenziale ci sia ).
Sempre collegato a questo, mi chiedevo perché nel caso di forme differenziali su un dominio non stellato la condizione del rotore non è sufficiente: come si può interpretare questo geometricamente? Se io "aggiro" i buchi nel dominio quando stabilisco il mio cammino d'integrazione ( ovvero quando scelgo il sostegno della curva, spero si dica così ), non dovrei comunque avere un campo su cui si può costruire un potenziale, e quindi un campo vettoriale conservativo?
Per meglio dire vorrei capire perché ( e come si vede questo ), nel caso della forza d'attrito il rotore del campo non è uguale a zero ( condizione che il mio libro di analisi esplicita poco dopo come necessaria ma non sufficiente affinché un campo potenziale ci sia ).
Sempre collegato a questo, mi chiedevo perché nel caso di forme differenziali su un dominio non stellato la condizione del rotore non è sufficiente: come si può interpretare questo geometricamente? Se io "aggiro" i buchi nel dominio quando stabilisco il mio cammino d'integrazione ( ovvero quando scelgo il sostegno della curva, spero si dica così ), non dovrei comunque avere un campo su cui si può costruire un potenziale, e quindi un campo vettoriale conservativo?
Risposte
Nessuno sa rispondermi?
"Zayko":
Sempre collegato a questo, mi chiedevo perché nel caso di forme differenziali su un dominio non stellato la condizione del rotore non è sufficiente: come si può interpretare questo geometricamente? Se io "aggiro" i buchi nel dominio quando stabilisco il mio cammino d'integrazione ( ovvero quando scelgo il sostegno della curva, spero si dica così ), non dovrei comunque avere un campo su cui si può costruire un potenziale, e quindi un campo vettoriale conservativo?
Dipende dal particolare cammino che hai scelto. Se il dominio non è stellato la condizione del rotore non è sufficiente ma nulla vieta che esista comunque il potenziale, in alcuni casi si riesce a calcolarlo ma non si può generalizzare a tutti i cammini possibili.
Scusa sai, ma la forza d'attrito non è un campo vettoriale. Dipende dalla velocità e dalla direzione del corpo, quindi nello stesso punto si possono avere tutti i vettori che vuoi.
Perchè non usi l'esempio classico, cioè il gradiente di una cartina topografica ?
Perchè non usi l'esempio classico, cioè il gradiente di una cartina topografica ?
Grazie per le risposte innazitutto.
Quinzio: perfetto, ho capito quindi perché con la forza d'attrito non funziona la costruzione della funzione potenziale.
Walter89: ma se quindi la funzione potenziale può esistere anche per domini non stellati, e io faccio un cammino che aggira i buchi presenti nel dominio, la "circuitazione" non dovrebbe essere nulla, in questo caso?
Prendo da esempio questa forma differenziale, magari mi riesco a spiegare meglio:
\omega = -(y/(x**2+y**2))dx + (x/(x**2+y**2))dy)
infinitamente derivabile con dominio RxR escluso lo zero.
se la integro da zero a due pigreco ( quindi su una curva chiusa ) sul sostegno della circonferenza goniometrica, il risultato è due pigreco.
Effettivamente il dominio non è stellato, anche se la funzione rispetta la condizione del rotore non è detto che la circuitazione sia zero. Ma in questo caso il sostegno della curva non passa per il buco, intorno allo zero quindi non dovrei poter costruire la funzione potenziale?
Quinzio: perfetto, ho capito quindi perché con la forza d'attrito non funziona la costruzione della funzione potenziale.
Walter89: ma se quindi la funzione potenziale può esistere anche per domini non stellati, e io faccio un cammino che aggira i buchi presenti nel dominio, la "circuitazione" non dovrebbe essere nulla, in questo caso?
Prendo da esempio questa forma differenziale, magari mi riesco a spiegare meglio:
\omega = -(y/(x**2+y**2))dx + (x/(x**2+y**2))dy)
infinitamente derivabile con dominio RxR escluso lo zero.
se la integro da zero a due pigreco ( quindi su una curva chiusa ) sul sostegno della circonferenza goniometrica, il risultato è due pigreco.
Effettivamente il dominio non è stellato, anche se la funzione rispetta la condizione del rotore non è detto che la circuitazione sia zero. Ma in questo caso il sostegno della curva non passa per il buco, intorno allo zero quindi non dovrei poter costruire la funzione potenziale?
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