Integrale di $cos^n x$ con n numero pari

[marione111]

CIao. Sul mio eserciziario c'è un esempio di svolgimento per questo tipo di integrali, ma l'ultimo passaggio non lo capisco per niente. Ora vi scrivo tutto

$int cos^4 x dx = int cos^3 x cos x dx $
$= int cos^3 x D(sin x) dx $
$= cos^3 x sin x - int sin x D(cos^3 x) dx $
$= cos^3 x sin x + 3int sin^2 x cos^2 x dx $
$= cos^3 x sin x + 3int (cos^2 x - cos^4 x) dx $
$= cos^3 x sin x + 3 int cos^2 x dx - 3 int cos^4 x dx$

e fin qui ci sono... poi però leggo

Portando $-3int cos^4 x dx$ al primo membro dell'equazione precedente e risolvendo, si ha:

$int cos^4 x dx = 1/4 cos^3 x sin x + 3/4int cos^2 x dx$

Di quest'ultima parte non ho capito un bel niente. Qualcuno che mi sa spiegare?

[robbstark1]

Riportando quello che hai scritto tu senza passaggi intermedi:
$int cos^4 x dx = cos^3 x sin x + 3 int cos^2 x dx - 3 int cos^4 x dx$
Questa è una normalissima identità, per cui si possono fare le normali operazioni che si possono fare per le identità (sommare ad entrambi i membri quantità uguali, o moltiplicare per quantità uguali) senza cambiarne il significato. Portando l'ultimo integrale a primo membro:
$int cos^4 x dx + 3 int cos^4 x dx = cos^3 x sin x + 3 int cos^2 x dx$
$ 4 int cos^4 x dx = cos^3 x sin x + 3 int cos^2 x dx$
$ int cos^4 x dx = 1/4 cos^3 x sin x + 3/4 int cos^2 x dx$

[marione111]

Aah ecco intedeva quella iniziale XD. Non riuscivo a capire perchè ero convinto parlasse di quella subito prima!

[Lo_zio_Tom]

certo che anche risolvere $cos^4(x)$ per parti ci vuole coraggio....

[Lo_zio_Tom]

sarà che io sono della vecchia scuola...e sono abituato a risolvere le cose senza tante pippe mentali....ma io scomporrei la funzione con le formule di duplicazione / bisezione fino ad ottenere una somma di integrali immediati

[Lo_zio_Tom]

così:

$cos^4x=cos^2xcos^2x=1/4(cos(2x)+1)^2=1/4(cos^2(2x)+2cos(2x)+1)=$

$=1/4cos^2(2x)+1/2cos(2x)+1/4=1/4(1/2cos(4x)+1/2)+1/2cos(2x)+1/4=$

$=1/8cos(4x)+1/8+1/2cos(2x)+1/4$

$=1/8cos(4x)+1/2cos(2x)+3/8$


Anzi così. ...EDIT....DOPO FIGURA DA CIOCCOLATAIO

[dissonance]

@tommik: Non mi ritrovo con i tuoi conti. Per $x=\pi$ vien fuori $1=-\frac{1}{4}$. Io userei la formula di Eulero:
\[
(\cos\, x)^4=\frac{1}{16} (e^{4ix}+4e^{i2x}+6+4e^{-i2x}+e^{-i4x})=\frac{\cos 4x}{8}+\frac{\cos 2x}{2}+\frac{3}{8}.
\]
Ma forse mi faccio troppe pippe mentali con questi ritrovati moderni?

(no sarcasmo intended )

[Lo_zio_Tom]

"dissonance":@tommik: Non mi ritrovo con i tuoi conti. Per $x=\pi$ vien fuori $1=-\frac{1}{4}$. Io userei la formula di Eulero:
\[
(\cos\, x)^4=\frac{1}{16} (e^{4ix}+4e^{i2x}+6+4e^{-i2x}+e^{-i4x})=\frac{\cos 4x}{8}+\frac{\cos 2x}{2}+\frac{3}{8}.
\]
Ma forse mi faccio troppe pippe mentali con questi ritrovati moderni?

(no sarcasmo intended )

Volevo inventare una nuova formula di duplicazione del coseno. .....

[21zuclo]

"dissonance":@tommik: Non mi ritrovo con i tuoi conti. Per $x=\pi$ vien fuori $1=-\frac{1}{4}$. Io userei la formula di Eulero:
\[
(\cos\, x)^4=\frac{1}{16} (e^{4ix}+4e^{i2x}+6+4e^{-i2x}+e^{-i4x})=\frac{\cos 4x}{8}+\frac{\cos 2x}{2}+\frac{3}{8}.
\]
Ma forse mi faccio troppe pippe mentali con questi ritrovati moderni?

(no sarcasmo intended )

@dissonance
Me la potresti spiegare?.. se mi può servire per far meno conti!..ben venga!..
in un battibaleno hai calcolato $\int cos^4 xdx$

io so solamente che la formula di Eulero è $ e^(i\theta)=\cos\theta+i\sin\theta $

[dissonance]

"21zuclo":[quote="dissonance"]@tommik: Non mi ritrovo con i tuoi conti. Per $x=\pi$ vien fuori $1=-\frac{1}{4}$. Io userei la formula di Eulero:
\[
(\cos\, x)^4=\frac{1}{16} (e^{4ix}+4e^{i2x}+6+4e^{-i2x}+e^{-i4x})=\frac{\cos 4x}{8}+\frac{\cos 2x}{2}+\frac{3}{8}.
\]
Ma forse mi faccio troppe pippe mentali con questi ritrovati moderni?

(no sarcasmo intended )

@dissonance
Me la potresti spiegare?.. se mi può servire per far meno conti!..ben venga!..
in un battibaleno hai calcolato $\int cos^4 xdx$

io so solamente che la formula di Eulero è $ e^(i\theta)=\cos\theta+i\sin\theta $[/quote]
Esatto. E quindi $\cos \theta=\frac{1}{2}(e^{i\theta}+e^{-i\theta})$. Eccetera.

[55sarah]

"dissonance":
\[
(\cos\, x)^4=\frac{1}{16} (e^{4ix}+4e^{i2x}+6+4e^{-i2x}+e^{-i4x})=\frac{\cos 4x}{8}+\frac{\cos 2x}{2}+\frac{3}{8}.
\]

uhm. faccio notare che se faccio

$ d/dx (1/8 cos(4x)+1/2cos(2x)+3/8)=-4\sin(x)cos^3(x) \ne cos^4(x) $

$ \int cos^4(x)dx=3/8x + 1/4sin(2x) + 1/32sin(4x) + C $

[Lo_zio_Tom]

"55sarah":
uhm. faccio notare che se faccio

$ d/dx (1/8 cos(4x)+1/2cos(2x)+3/8)=-4\sin(x)cos^3(x) \ne cos^4(x) $

$ \int cos^4(x)dx=3/8x + 1/4sin(2x) + 1/32sin(4x) + C $

...e io faccio notare che non abbiamo integrato la funzione....abbiamo solo calcolato l'integranda

[marione111]

"tommik":sarà che io sono della vecchia scuola...e sono abituato a risolvere le cose senza tante pippe mentali....ma io scomporrei la funzione con le formule di duplicazione / bisezione fino ad ottenere una somma di integrali immediati

Penso l'intento sia quello di dare un metodo meccanico per un caso particolare... in fin dei conti sto a ingegneria non a matematica. Ci sono anche esercizi svolti usando le varie formule trigonometriche e sinceramente quando le devo usare mi incarto quasi sempre perchè non so dove devo arrivare, quindi ben vengano i metodi for dummies XD

Comunque grazie anche per questo svolgimento... sto cercando di allenarmi anche ad usare le formule trigonometriche