Integrale di cammino, teorema dei residui
Ciao a tutti,
mi sono trovato a risolvere un esercizio abbastanza semplice, ma che mi ha lasciato perplesso.
devo calcolare l'integrale
$ int_gammasin(piz) / (2z+1)^3 $
dove $ gamma $ è una circonferenza di raggio 2 e centro nell'origine.
Ho calcolato il residuo come definito, quindi, in questo caso,
$ Res (-1/2, gamma)= lim_(z->-1/2)1/2 (d/dz)^2sin(piz) / (2z+1)^3 = pi^2/16 $
e il risultato è corretto.
Ho voluto calcolare però il residuo anche come coefficiente del termine di grado $ -1$ della serie di Laurent della funzione (termine che chiamiamo $c_(-1)$ ), ma la serie centrata in $ z=0 $ è una sommatoria il cui termine di grado minore è relativo a $x$, cioè ho una serie del tipo
$ sum_(k=1)^oo c_kx^k $
il che mi porta ad una contraddizione, dato che in questo caso $c_(-1)=0$.
È possibile che questa contraddizione sia dovuto a qualche problema con l'analiticità della funzione?
Un grazie di cuore a chi avrà la voglia di rispondere!
mi sono trovato a risolvere un esercizio abbastanza semplice, ma che mi ha lasciato perplesso.
devo calcolare l'integrale
$ int_gammasin(piz) / (2z+1)^3 $
dove $ gamma $ è una circonferenza di raggio 2 e centro nell'origine.
Ho calcolato il residuo come definito, quindi, in questo caso,
$ Res (-1/2, gamma)= lim_(z->-1/2)1/2 (d/dz)^2sin(piz) / (2z+1)^3 = pi^2/16 $
e il risultato è corretto.
Ho voluto calcolare però il residuo anche come coefficiente del termine di grado $ -1$ della serie di Laurent della funzione (termine che chiamiamo $c_(-1)$ ), ma la serie centrata in $ z=0 $ è una sommatoria il cui termine di grado minore è relativo a $x$, cioè ho una serie del tipo
$ sum_(k=1)^oo c_kx^k $
il che mi porta ad una contraddizione, dato che in questo caso $c_(-1)=0$.
È possibile che questa contraddizione sia dovuto a qualche problema con l'analiticità della funzione?
Un grazie di cuore a chi avrà la voglia di rispondere!
Risposte
A me risulta che la generica formula per un polo di ordine $k$ sia
$lim_(z->a)1/((k-1)!) (d^(k-1))/(dz^(k-1)){(z-a)^k\ f(z)}$
$lim_(z->a)1/((k-1)!) (d^(k-1))/(dz^(k-1)){(z-a)^k\ f(z)}$
"Quinzio":
A me risulta che la generica formula per un polo di ordine $k$ sia
$lim_(z->a)1/((k-1)!) (d^(k-1))/(dz^(k-1)){(z-a)^k\ f(z)}$
Hai pienamente ragione, infatti la formula che hai scritto si riduce a quella che ho scritto io nel mio caso, in quanto ho un polo $x=-1/2$ di ordine $3$; proprio per questo ho scritto:
"greg_91":
Ho calcolato il residuo come definito, quindi, in questo caso,
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