Integrale di arco di curva (credo...)
Sia Γ l’arco di parabola di equazione y = x² orientato da (0,0) a (1,1). Sia f : R²→R² la funzione che ad (x₁,x₂) ∈ R² associa f(x₁,x₂) : (cos(x₁) e^x₂,sin(x₁) e^x₂) ∈ R².
Calcolare ∫f(x) dx
(L'integrale esteso a Γ ovviamente)
Questo esercizio è presente nel modulo d’esame di Analisi 2 degli anni scorsi del mio prof di Analisi. Il problema è che non so proprio come iniziare questo esercizio, davvero non so che pesci prendere. Come dovrei procedere per risolverlo? Ma soprattutto: è una forma di integrale di linea/curva di seconda specie? Perché non so neanche a cosa fare riferimento per eventuali formule…
Please help
Calcolare ∫f(x) dx
(L'integrale esteso a Γ ovviamente)
Questo esercizio è presente nel modulo d’esame di Analisi 2 degli anni scorsi del mio prof di Analisi. Il problema è che non so proprio come iniziare questo esercizio, davvero non so che pesci prendere. Come dovrei procedere per risolverlo? Ma soprattutto: è una forma di integrale di linea/curva di seconda specie? Perché non so neanche a cosa fare riferimento per eventuali formule…
Please help
Risposte
Scusatemi se uppo questa discussione ma necessito davvero di aiuto. Almeno sapere che tipo di integrale sia questo, perché nel modulo d'esame che dovrò affrontare ci sarà qualcosa di affine a quanto pare ma non so come affrontare un tale esercizi. Se sto infrangendo qualche regola del forum potete anche scrivere in privato e provvederò ad aggiustare il thread. Scusate ancora e grazie 
Non ha senso, perché \(f\) è funzione di \(x_1, x_2\), cosa sarebbe \(f(x)dx\)?
Vuoi calcolare \(\int_\Gamma \vec f(x_1, x_2)\cdot \vec t\, ds\), dove \(\vec t\) è il versore tangente e \(ds\) è l'elemento di lunghezza? Ragionevolmente è questo che ti chiede l'esercizio. (Spesso si scrive \(\vec{ds}=\vec t ds\)).
In ogni caso le [formule][/formule] si scrivono come in queste istruzioni
Vuoi calcolare \(\int_\Gamma \vec f(x_1, x_2)\cdot \vec t\, ds\), dove \(\vec t\) è il versore tangente e \(ds\) è l'elemento di lunghezza? Ragionevolmente è questo che ti chiede l'esercizio. (Spesso si scrive \(\vec{ds}=\vec t ds\)).
In ogni caso le [formule][/formule] si scrivono come in queste istruzioni
Grazie mille per la risposta. Anche io non ho trovato senso nella forma scritta dal professore nel modulo. Ho trovato un vecchio quaderno di appunti dove c'era un esercizio simile con annessa risoluzione. Lo posto qui sperando che possa essere utile per qualcun altro o magari illuminare i più esperti e capire a cosa si riferisce.
Dato l' arco di curva orientato $Γ$ arco di parabola $y=x^2$ da $(0,0)$ a $(1,1)$ sia $f:R²→R²$ la funzione che ad $(x₁,x₂) ∈ R²$ associa $f(x₁,x₂) : (cos(x₁) e^(x_2) + x_1^2,sin(x₁) e^(x_2) + cos(x_2)) ∈ R²$ calcolare $∫_Γ f(x) dx$
RISOLUZIONE:
Appurata la semplice connessione ( data la definizione in tutto $R^2$) si proceda controllando l'irrotazionalità.
$(∂f^1)/(∂x_2)=(∂f^2)/(∂x_1)$ sono uguali e valgono infatti $cos(x_1)e^(x_2)=cos(x_1)e^(x_2)$
Si proceda dunque calcolando la primitiva
$F(x,y)=sin(x_1)e^(x_2)+g(x_1)+h(x_2)$ e troviamo il gradiente
$∇F(x,y)=(cos(x_1)e^(x_2) + g'(x_1) , sin(x_1)e^(x_2) + h(x_2))$
dalla quale ricaviamo
$g'(x_1)=x_1^2$
$G(x_1)= x_1^3/3$
$h'(x_2)=cos(x_2)$
$H(x_2)=sin(x_2)$
avremo quindi che
$F(x,y)=sin(x_1)e^(x_2)+ x_1^3/3+sin(x_2)$
e terminiamo calcolando l'integrale
$∫_Γ f(x) dx= [sin(x_1)e^(x_2)+ x_1^3/3+sin(x_2)]_(0,0)^(1,1)$
Può servire?
Dato l' arco di curva orientato $Γ$ arco di parabola $y=x^2$ da $(0,0)$ a $(1,1)$ sia $f:R²→R²$ la funzione che ad $(x₁,x₂) ∈ R²$ associa $f(x₁,x₂) : (cos(x₁) e^(x_2) + x_1^2,sin(x₁) e^(x_2) + cos(x_2)) ∈ R²$ calcolare $∫_Γ f(x) dx$
RISOLUZIONE:
Appurata la semplice connessione ( data la definizione in tutto $R^2$) si proceda controllando l'irrotazionalità.
$(∂f^1)/(∂x_2)=(∂f^2)/(∂x_1)$ sono uguali e valgono infatti $cos(x_1)e^(x_2)=cos(x_1)e^(x_2)$
Si proceda dunque calcolando la primitiva
$F(x,y)=sin(x_1)e^(x_2)+g(x_1)+h(x_2)$ e troviamo il gradiente
$∇F(x,y)=(cos(x_1)e^(x_2) + g'(x_1) , sin(x_1)e^(x_2) + h(x_2))$
dalla quale ricaviamo
$g'(x_1)=x_1^2$
$G(x_1)= x_1^3/3$
$h'(x_2)=cos(x_2)$
$H(x_2)=sin(x_2)$
avremo quindi che
$F(x,y)=sin(x_1)e^(x_2)+ x_1^3/3+sin(x_2)$
e terminiamo calcolando l'integrale
$∫_Γ f(x) dx= [sin(x_1)e^(x_2)+ x_1^3/3+sin(x_2)]_(0,0)^(1,1)$
Può servire?
Quindi era un integrale del tipo del mio post precedente. Vedo che, purtroppo, tu la teoria la stai saltando a pié pari. Cosa studi?
Sono una matricola, frequento il primo anno di ingegneria ma al momento seguo i corsi comuni di geometria, informatica e analisi essendo al primo anno. Purtroppo la teoria la sto saltando semplicemente perché il mio professore se la spiega la spiega male, altrimenti fa esercizi alla lavagna mostrandoci il modus operandi da seguire ma non sono molto soddisfatto perché voglio capire ciò che sto facendo. Ecco perché ho chiesto aiuto qui per questo esercizio che rappresenta una parte importante dell'esame di analisi 2.
E ho capito ma ti tocca studiare un po' di teoria, Federico. Sei all'università, "il professore spiega male" non è più una scusa valida. Uno studente universitario deve essere capace di studiare un argomento dai libri anche da solo o da sola.
Devi sapere:
1. la definizione di integrale di linea di un campo vettoriale - di una forma differenziale.
2. il concetto di "primitiva" di un campo vettoriale - di una forma differenziale.
3. il concetto di "insieme semplicemente connesso" e come esso influisce sull'esistenza di primitive dei campi vettoriali - delle forme differenziali.
Queste cose vanno studiate sul libro di testo.
Devi sapere:
1. la definizione di integrale di linea di un campo vettoriale - di una forma differenziale.
2. il concetto di "primitiva" di un campo vettoriale - di una forma differenziale.
3. il concetto di "insieme semplicemente connesso" e come esso influisce sull'esistenza di primitive dei campi vettoriali - delle forme differenziali.
Queste cose vanno studiate sul libro di testo.
Grazie mille per le dritte e per le informazioni. Chiederò a qualcuno qualche libro di testo valido visto che il docente ci ha detto di fare affidamento sulle sue dispense (assolutamente criptiche e poco chiare, persino peggio delle sue spiegazioni). E grazie per avermi fornito i concetti da approfondire per risolvere questi esercizi
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