Integrale della tangente
Ho questo integrale:
\(\displaystyle \int \frac{sin(log x)}{x cos(log x)} \)
Io ho risolto così:
\(\displaystyle y = log x,dy =1/dx \Rightarrow \int \frac{sin y dy}{cos y}=\int \tan y dy = 1+(\tan y)^2 \Rightarrow 1+\tan (\log x)^2\)
Però il risultato sarebbe:
\(\displaystyle y = log x,dy =1/dx \Rightarrow \int \frac{sin y dy}{cos y}=\int \frac{(\cos y)' dy}{\cos y} \Rightarrow -\log|\cos (\log x)|\)
Che è corretto, senza dubbio... Allora mi chiedo, le due soluzioni si equivalgono oppure io ho fatto una cavolata nella soluzione superiore? Grazie.
\(\displaystyle \int \frac{sin(log x)}{x cos(log x)} \)
Io ho risolto così:
\(\displaystyle y = log x,dy =1/dx \Rightarrow \int \frac{sin y dy}{cos y}=\int \tan y dy = 1+(\tan y)^2 \Rightarrow 1+\tan (\log x)^2\)
Però il risultato sarebbe:
\(\displaystyle y = log x,dy =1/dx \Rightarrow \int \frac{sin y dy}{cos y}=\int \frac{(\cos y)' dy}{\cos y} \Rightarrow -\log|\cos (\log x)|\)
Che è corretto, senza dubbio... Allora mi chiedo, le due soluzioni si equivalgono oppure io ho fatto una cavolata nella soluzione superiore? Grazie.
Risposte
Se le derivate di entrambi danno il risultato di partenza, si equivalgono.
no non si equivalgono
del resto,è immediato verificare che la derivata di $tg^2y$ non è $tgy$
del resto,è immediato verificare che la derivata di $tg^2y$ non è $tgy$
Io le derivate non le ho controllate, ma in generale quello che ho detto in [2] è vero 
Per questo ho specificato "se le derivate dei risultati sono le stesse..."
Per questo ho specificato "se le derivate dei risultati sono le stesse..."
Io rimango sempre con il dubbio 
su cosa ?
Guarda bene il primo integrale proposto, ultimo passaggio..
Quanto vale questo integrale qui?
\(\displaystyle \int_{}^{}{\tan xdx} \)
Quanto vale questo integrale qui?
\(\displaystyle \int_{}^{}{\tan xdx} \)
Ah ecco, ho sbagliato un integrale... invece che prendere la primitiva ho preso la derivata... Quindi posso dire che è stato un errore di distrazione? Io penso sia questo. Infatti l'integrale non è quello... Solo una cosa... Come si sceglie il segno? Dal bramanti Appendice A io vedo:
\(\displaystyle \int \tan x dx = log |\cos x| \) mentre l'integrale della cotg x ha il segno negativo... Sarà un errore?
\(\displaystyle \int \tan x dx = log |\cos x| \) mentre l'integrale della cotg x ha il segno negativo... Sarà un errore?
Manca un segno meno, in generale il segno di un integrale si trova risolvendolo correttamente 
Prova a fare tutti i passaggi per questo esempio, vedi che verrà fuori un segno meno.
Oppure deriva quel risultato e vedi cosa viene fuori
Prova a fare tutti i passaggi per questo esempio, vedi che verrà fuori un segno meno.
Oppure deriva quel risultato e vedi cosa viene fuori
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