Integrale della forma differenziale
Salve ho un problema nel risolvere questo integrale curvilineo potete aiutarmi 
?
L'esercizio è il seguente:
Su calcoli l'integrale di w esteso a uno dei due archi della circonferenza con centro nell'origine e raggio unitario i cui estremi, nell'ordine, sono (0,1) e (0,-1)
$ w=e^{x} [ydx+dy] $
Per prima cosa ho provato a parametrizzare la la curva fruttando il fatto che ci interessa solo la parte di circonferenza presente nel piano delle x negative quindi ponendo:
$ x=-sqrt(1-y^2) $ ponendo y=t con $ t in [-1,1 ] $ $ rArr $ $ x=-sqrt(1-t^2) $
Fatto ciò la forma differenziale diventa un pò rompiscatole perchè w è:
$ w=e^[-sqrt(1-t^2)] * [t*( t//sqrt(1-t^2)) +1 ]dt $
e quindi l'integrale esce una cosa del tipo:
$ -int_(-1)^(1) e^[-sqrt(1-t^2)] * [t*( t//sqrt(1-t^2)) +1 ]dt $
$ -int_(-1)^(1) e^[-sqrt(1-t^2)] * t*( t//sqrt(1-t^2)) dt $ $ -int_(-1)^(1) e^[-sqrt(1-t^2)] dt $
Che è veramente un qualcosa di brutto u.u brutto dato che non riesco a trovare una scappatoia per renderlo più elementare u.u
Sto cercando di risolverlo per parti ma non sembra facile in ogni caso la ho cercato di vedere il primo integrale in questo modo:
$ -[-int_(-1)^(1) (-t//sqrt(1-t^2))*e^[-sqrt(1-t^2))*tdt] $
Considerando come $ g'=(-t//sqrt(1-t^2))*e^[-sqrt(1-t^2)) $ mentre $ f=t $
Facendo così mi trovo una cosa del tipo:
$ -{-[[t*e^-sqrt(1-t^2)]_(-1)^(1)-int_(-1)^(1)e^-sqrt(1-t^2)dt] }-int_(-1)^(1)e^-sqrt(1-t^2)dt $
Ora sto continuando l'integrale ma se voi avete qualche consiglio sono ben accettati
?L'esercizio è il seguente:
Su calcoli l'integrale di w esteso a uno dei due archi della circonferenza con centro nell'origine e raggio unitario i cui estremi, nell'ordine, sono (0,1) e (0,-1)
$ w=e^{x} [ydx+dy] $
Per prima cosa ho provato a parametrizzare la la curva fruttando il fatto che ci interessa solo la parte di circonferenza presente nel piano delle x negative quindi ponendo:
$ x=-sqrt(1-y^2) $ ponendo y=t con $ t in [-1,1 ] $ $ rArr $ $ x=-sqrt(1-t^2) $
Fatto ciò la forma differenziale diventa un pò rompiscatole perchè w è:
$ w=e^[-sqrt(1-t^2)] * [t*( t//sqrt(1-t^2)) +1 ]dt $
e quindi l'integrale esce una cosa del tipo:
$ -int_(-1)^(1) e^[-sqrt(1-t^2)] * [t*( t//sqrt(1-t^2)) +1 ]dt $
$ -int_(-1)^(1) e^[-sqrt(1-t^2)] * t*( t//sqrt(1-t^2)) dt $ $ -int_(-1)^(1) e^[-sqrt(1-t^2)] dt $
Che è veramente un qualcosa di brutto u.u brutto dato che non riesco a trovare una scappatoia per renderlo più elementare u.u
Sto cercando di risolverlo per parti ma non sembra facile in ogni caso la ho cercato di vedere il primo integrale in questo modo:
$ -[-int_(-1)^(1) (-t//sqrt(1-t^2))*e^[-sqrt(1-t^2))*tdt] $
Considerando come $ g'=(-t//sqrt(1-t^2))*e^[-sqrt(1-t^2)) $ mentre $ f=t $
Facendo così mi trovo una cosa del tipo:
$ -{-[[t*e^-sqrt(1-t^2)]_(-1)^(1)-int_(-1)^(1)e^-sqrt(1-t^2)dt] }-int_(-1)^(1)e^-sqrt(1-t^2)dt $
Ora sto continuando l'integrale ma se voi avete qualche consiglio sono ben accettati
Risposte
PS: speravo che in qualche modo quei due integrali si sarebbero annullati a vicenda ma il segno non mi è stato favorevole 
ok forse ho capito quale è stato il mio errore che nel considerare la g' la forma corretta era:
[t//(sqrt(1-t^2)]*e^-sqrt(1-t^2) senza il meno
in ogni caso potete controllare se la parametrizzazione è esatta ?
[t//(sqrt(1-t^2)]*e^-sqrt(1-t^2) senza il meno
in ogni caso potete controllare se la parametrizzazione è esatta ?
La soluzione è per caso -2 ??
Ditemi di si
Ditemi di si
Con un minimo di conoscenza teorica in più l'esercizio è facilissimo. La forma è chiusa e dunque esatta su $RR^2$ (insieme semplicemente connesso), per cui potevi a scelta trovarti una primitiva o calcolare l'integrale su una curva più semplice congiungente quei due punti (un segmento verticale).
In ogni caso la parametrizzazione che hai scelto per l'arco di circonferenza non è granché, meglio quelle della forma $(cost, sint)$.
In ogni caso la parametrizzazione che hai scelto per l'arco di circonferenza non è granché, meglio quelle della forma $(cost, sint)$.
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