Integrale della derivata del troncamento di una funzione

[leo--msn]

Sia $A\subseteq \mathbb{R}^n$ aperto, $u \in C^1(A)$ integrabile. Sia anche $$t_C=
\left\{\begin{matrix}C & u \geq C\\
u & |u|\leq C\\
-C & u \leq -C
\end{matrix}\right.$$ con $C\geq 0$.

E' vero che $\int_A \partial_it_C=\int_{|u|
Siccome negli aperti $\{u>C\}$ e $\{u<-C\}$ $t_C$ è costante allora lì $\partial_it_C=0$.

Quindi $\int_A \partial_it_C=\int_{|u|\leq C}\partial_iu$

Ciò che mi sfugge è come mai posso trascurare i contributi di $\{u=\pm C\}$, essendo insiemi chiusi.

[dissonance]

Secondo me hanno misura nulla. Cerca "lemma di Sard", forse aiuta, non ne sono sicuro

[dissonance]

In realtà non è vero che \(\{u=C\}\) ha misura nulla, in generale. Per esempio se \(u\) ha supporto compatto, allora \(\{u=0\}\) contiene il complementare del supporto di \(u\) e quindi, in particolare, ha misura infinita. Però su questo complementare le derivate di \(u\) sono tutte nulle. Quello che è sicuramente vero è che
\[
\{x\in\mathbb R^n\ :\ u=C\ \text{ e }\ \nabla u(x)\ne 0\}\]
è un insieme di misura nulla; infatti, questo insieme è una sottovarietà di dimensione \(n-1\).

[leo--msn]

"dissonance":In realtà non è vero che \(\{u=C\}\) ha misura nulla, in generale. Per esempio se \(u\) ha supporto compatto, allora \(\{u=0\}\) contiene il complementare del supporto di \(u\) e quindi, in particolare, ha misura infinita. Però su questo complementare le derivate di \(u\) sono tutte nulle. Quello che è sicuramente vero è che
\[
\{x\in\mathbb R^n\ :\ u=C\ \text{ e }\ \nabla u(x)\ne 0\}\]
è un insieme di misura nulla; infatti, questo insieme è una sottovarietà di dimensione \(n-1\).

Quindi $\partial_i u \ne 0 \implies \nabla u \ne 0$ e dunque l'insieme $\{\partial_iu \ne 0 \cap u=C\}\subseteq \{\nablau\ne 0 \cap u=C\}$ che ha misura nulla.

Quindi che $\int_{\{u=C\}}\partial_iu=0$, giusto?

Come ultima domanda, come si fa a vedere che una $n-1$ sottovarietà ha misura nulla? Immagino che derivi dal fatto che localmente si può parametrizzare come il grafico di una funzione regolare, che è un insieme a misura nulla. Quindi ogni punto della varietà ha un intorno in cui ha misura nulla e allora basta ad esempio prendere i punti di coordinate razionali della varietà e si conclude facendo un'unione numerabile?

[dissonance]

Si, esatto. Il discorso sui punti a coordinate razionali va un po' precisato, però. Io direi che esiste una successione \(\{B_n: n\in\mathbb N\}\) di palle di \(\mathbb R^n\) tali che
\[\{u=C\} = \cap_{n=1}^\infty \{u=C\}\cap B_n \]
e che \(\{u=C\}\cap B_n\) è il grafico di una funzione regolare. Questo perché ogni punto di \(\{u=C\}\) ha un intorno con questa proprietà, il che produce un ricoprimento da cui si può estrarre un sottoricoprimento finito (se la varietà è compatta) o numerabilmente infinito. E quindi \(\{u=C\}\) è unione numerabile di insiemi nulli.