Integrale definito rapporto e radice

Claudia141
Ciao... ripropongo questo integrale definito:
$\int_2^3 (x(9-x^2))/(sqrt(x^2-4))dx$
Ho provocò a risolverlo per parti come mi è stato consigliato, a dividerlo in più integrali... ma non riesco proprio a risolverlo ma soprattutto a capirlo, il che è più grave a parer mio ....

Mi potreste aiutare nuovamente? ??

Risposte
@melia
Con un po' di giochini algebrici:

$(x(9-x^2))/(sqrt(x^2-4))= (x(4-x^2))/(sqrt(x^2-4))+(5x)/sqrt(x^2-4)= -xsqrt(x^2-4)+(5x)/sqrt(x^2-4)$
Adesso va meglio?

Claudia141
Da qui posso procedere con la sostituzione?

pilloeffe
Ciao Claudia14,

Invece di procedere con la sostituzione, facendo tesoro dell'ottimo suggerimento di melia potresti fare uso della nota regola di integrazione seguente:

$int [f(x)]^{alpha} f '(x) dx = [f(x)]^{\alpha + 1}/(\alpha + 1) + c $

Claudia141
Non ho capito ancora una cosa :cry: :cry: :cry:
come si fa ad ottenere: da
$(x (4-x^2))/(sqrt (x^2-4))+(5x)/(sqrt (x^2-4)) $
Questo:
$-x (sqrt (x^2-4))+(5x)/(sqrt (x^2-4)) $

@melia
La cosa migliore sarebbe una ripassatina ai radicali.
Ovviamente anche senza la ripassatina sai che $(sqrt(x^2-4))^2=x^2-4$, ma anche viceversa $x^2-4=(sqrt(x^2-4))^2$, naturalmente nell'ambito di esistenza di entrambi i membri, ma questo non ci interessa perchè il problema usa il caso tra 2 e 3, in cui le uguaglianze sono verificate.

$ (x (4-x^2))/(sqrt (x^2-4))+(5x)/(sqrt (x^2-4)) = (-x (x^2-4))/(sqrt (x^2-4))+(5x)/(sqrt (x^2-4)) = $ sostituendo
$= (-x(sqrt(x^2-4))^2)/(sqrt (x^2-4))+ (5x)/(sqrt (x^2-4)) =$ e semplificando arrivi a
$= -x (sqrt (x^2-4))+(5x)/(sqrt (x^2-4)) $

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