Integrale definito rapporto e radice

[Claudia141]

Ciao... ripropongo questo integrale definito:
$\int_2^3 (x(9-x^2))/(sqrt(x^2-4))dx$
Ho provocò a risolverlo per parti come mi è stato consigliato, a dividerlo in più integrali... ma non riesco proprio a risolverlo ma soprattutto a capirlo, il che è più grave a parer mio ....

Mi potreste aiutare nuovamente? ??

[@melia]

Con un po' di giochini algebrici:

$(x(9-x^2))/(sqrt(x^2-4))= (x(4-x^2))/(sqrt(x^2-4))+(5x)/sqrt(x^2-4)= -xsqrt(x^2-4)+(5x)/sqrt(x^2-4)$
Adesso va meglio?

[Claudia141]

Da qui posso procedere con la sostituzione?

[pilloeffe]

Ciao Claudia14,

Invece di procedere con la sostituzione, facendo tesoro dell'ottimo suggerimento di melia potresti fare uso della nota regola di integrazione seguente:

$int [f(x)]^{alpha} f '(x) dx = [f(x)]^{\alpha + 1}/(\alpha + 1) + c $

[Claudia141]

Non ho capito ancora una cosa
come si fa ad ottenere: da
$(x (4-x^2))/(sqrt (x^2-4))+(5x)/(sqrt (x^2-4)) $
Questo:
$-x (sqrt (x^2-4))+(5x)/(sqrt (x^2-4)) $

[@melia]

La cosa migliore sarebbe una ripassatina ai radicali.
Ovviamente anche senza la ripassatina sai che $(sqrt(x^2-4))^2=x^2-4$, ma anche viceversa $x^2-4=(sqrt(x^2-4))^2$, naturalmente nell'ambito di esistenza di entrambi i membri, ma questo non ci interessa perchè il problema usa il caso tra 2 e 3, in cui le uguaglianze sono verificate.

$ (x (4-x^2))/(sqrt (x^2-4))+(5x)/(sqrt (x^2-4)) = (-x (x^2-4))/(sqrt (x^2-4))+(5x)/(sqrt (x^2-4)) = $ sostituendo
$= (-x(sqrt(x^2-4))^2)/(sqrt (x^2-4))+ (5x)/(sqrt (x^2-4)) =$ e semplificando arrivi a
$= -x (sqrt (x^2-4))+(5x)/(sqrt (x^2-4)) $