Integrale definito improprio

[aleale721]

Chi sa risolvere questo integrale improprio?
integrale tra 0 e infinito della funzione fratta (x^2+1)/(x^4+3x+1) in dx
Grazie



ale

[Sk_Anonymous]

Poiche' l'integrando e' infinitesimo di ordine 2 (>1)
rispetto ad 1/x (per x-->+inf), l'integrale esiste
finito.
Il suo valore non e' , a mio parere,calcolabile
tramite funzioni elementari ma solo con uno dei
metodi conosciuti di calcolo numerico.
Ho provato con Derive e Mathematica:il primo
(col mio modesto hardware) ci mette troppo tempo
e mi sono stancato di aspettare ed il secondo
mi ha sparato una delle solite risposte che
sanno spesso di... presa in giro.
karl.

[dazuco]

Karl potresti spiegarmi perchè l'integrale esiste finito?
Io avrei utilizzato il criterio asintotico, sapendo che
[8D]da 1 a +inf 1/x^2 dx esiste finito e vale 1
quindi per quel criterio anche [8D]da 1 a +inf (x^2+1)/(x^4+3x+1) dx
esiste finito.
Ma se parliamo di un integrale da 0 a +inf allora
[8D]da 1 a +inf 1/x^2 dx non dovrebbe esistere finito.

[Sk_Anonymous]

Per quello che vedo, l'integrale risulta
improprio solo rispetto all'estremo superiore
ed quindi ho applicato il criterio,da me appreso
in anni ormai lontani,che dice cosi':
se esiste un m>1 tale che risulti:
lim[x-->+inf](x^m*|f(x)|)=valore finito
allora la funzione e' integrabile in [a,+inf[
(con a finito).In questo caso e' a=0 (quindi
finito) m=2>1 e tutto e' a posto.Di altri
possibili criteri non so.
Per inciso il valore dell'integrale e':1.343819196
karl.

[dazuco]

Ok. credo sia lo stesso criterio (asintotico) il quale dice appunto che se esiste finito e positivo il lim per x --> +inf di a/b dove
a, b sono due successioni
Allora sapendo che [8]1/x^m converge solo quando m>1
fare a/b con b=1/x^m equivale a fare quello che hai scritto tu.
Ti ringrazio karl.