Integrale definito funzioni trigonometriche

[allessandro1]

Salve a tutti, sto avendo molta difficoltà a calcolare l'integrale della seguente funzione
$ \int sin^4(3x)*cos^2(3x) dx $
(non so come si inseriscono gli estremi di definizione che sono 0 e $pi$ ma poco importa, non riesco a trovare la primitiva)

Ho provato prima riscrivendo il coseno usando la I° relazione fondamentale della trigonometria e ho ricavato
$ \int sin^4(3x)*cos^2(3x) dx $ = $ \int sin^4(3x) $ - $ \int sin^6(3x) $
A questo punto, cercando su internet ho trovato una formula per la risoluzione del primo integrale che è la seguentente
$ \int sin^m(x) = -((cos(x) sen^(m-1)(x))/m) + (m-1)/m \int sin^(m-2)(x) dx $
ho presupposto che se ci fosse una generica $f(x)$ al posto della semplice $x$ non cambiasse nulla, probabilmente è un errore.

applicandola per $ \int sin^4(3x) $ sono giunto al seguente risultato:
$ \int sin^4(3x) $ = $ (-cos(3x)sen^3(3x))/4 - (3/4)(cos(3x) sin(3x))/2 + (x/2) $

Ho usato wolframalpha per verificare se fosse corretto e mi ha restituito una primitiva completamente diversa.
Mi chiedo se la formula che ho utilizzato è corretta e se qualcuno può spiegarmi come si arriva ad essa. Grazie

[gugo82]

Innanzitutto, gli integrali in potenze pari di seno e coseno si possono risolvere con la sostituzione $t = tan x$, eventualmente dopo aver portato tutto in seno o in coseno con l’ausilio della relazione fondamentale.

Poi, certo che cambiano le cose se al posto di $x$ c'è $3x$, altrimenti la formula di integrazione per sostituzione non l’avrebbero scoperta.

[pilloeffe]

Ciao allessandro,

Essendo nel caso specifico dell'integrale proposto tutte le potenze pari, per risolverlo farei ripetuto uso delle ben note identità trigonometriche seguenti:

$cos^2 t = (1 + cos(2t))/2 $

$sin^2 t = (1 - cos(2t))/2 $

ove nel caso in esame $t = 3x $ per cui si ha:

$cos^2 (3x) = (1 + cos(6x))/2 $

$sin^2 (3x) = (1 - cos(6x))/2 $

[salvatoresambito]

"allessandro":Salve a tutti, sto avendo molta difficoltà a calcolare l'integrale della seguente funzione
$ \int sin^4(3x)*cos^2(3x) dx $
(non so come si inseriscono gli estremi di definizione che sono 0 e $pi$ ma poco importa, non riesco a trovare la primitiva)

Ho provato prima riscrivendo il coseno usando la I° relazione fondamentale della trigonometria e ho ricavato
$ \int sin^4(3x)*cos^2(3x) dx $ = $ \int sin^4(3x) $ - $ \int sin^6(3x) $
A questo punto, cercando su internet ho trovato una formula per la risoluzione del primo integrale che è la seguentente
$ \int sin^m(x) = -((cos(x) sen^(m-1)(x))/m) + (m-1)/m \int sin^(m-2)(x) dx $
ho presupposto che se ci fosse una generica $f(x)$ al posto della semplice $x$ non cambiasse nulla, probabilmente è un errore.

applicandola per $ \int sin^4(3x) $ sono giunto al seguente risultato:
$ \int sin^4(3x) $ = $ (-cos(3x)sen^3(3x))/4 - (3/4)(cos(3x) sin(3x))/2 + (x/2) $

Ho usato wolframalpha per verificare se fosse corretto e mi ha restituito una primitiva completamente diversa.
Mi chiedo se la formula che ho utilizzato è corretta e se qualcuno può spiegarmi come si arriva ad essa. Grazie

Io lo spezzerei in due integrali : $ int_()^() sin^4(3x) dx - int_()^() sin^6(3x) dx $

[@melia]

Ti hanno suggerito 2 modi per risolvere il problema senza dover ricordare la formula che hai scritto, ma è fondamentale fare la sostituzione di $3x$ (nel primo suggerimento) o di $6x$ (nel secondo).

[allessandro1]

Ciao, grazie mille a tutti della risposta.
Ho provato ad usare il metodo suggeritomi da pilloeffe ma credo di aver sbagliato qualcosa di molto importante.
Utilizzando le formule e applicando la sostituzione $t=3x$ e quindi $dx=1/3$ sono arrivato a scrivere l'integrale come:
$(1/3) \int ((1-cos(2t))^2)/4 * (1+cos(2t))/2$

dopodichè ho portato le costanti fuori dall'integrale e ho riscritto il quadrato del binomio come moltiplicazione per applicare la proprietà $(a+b)(a-b)=(a^2-b^2)$ ottenendo

$(1/24) \int (1-cos^2(2t))(1+cos(2t)$

applicando la stessa sostituzione a $cos^2(2t)$ ho
$(1/24) \int (1- ((1+cos(4t))/2))(1-cos(2t)$ e quindi $1/48 \int(1+cos(4t))(1-cos(2t)$
qui mi sono bloccato. Ho sbagliato qualcosa? come si procede? grazie

[pilloeffe]

"allessandro":Ho provato ad usare il metodo suggeritomi da pilloeffe [...]

Mah, non direi, nel metodo che ti ho suggerito la variabile rimane $x$:

$ \int sin^4(3x) \cdotcos^2(3x) \text{d}x = \int [(1 - cos(6x))/2]^2 \cdot (1 + cos(6x))/2 \text{d}x = $
$ = 1/8 \int [1 - cos(6x)]\cdot [1 - cos^2(6x)] \text{d}x = 1/8 \int [1 - cos(6x)]\cdot sin^2(6x) \text{d}x = $
$ = 1/8 \int [1 - cos(6x)]\cdot (1 - cos(12x))/2 \text{d}x = 1/16 \int [1 - cos(6x)]\cdot [1 - cos(12x)]\text{d}x = ... $

[allessandro1]

"pilloeffe":
$ = 1/8 \int [1 - cos(6x)]\cdot (1 - cos(12x))/2 \text{d}x = 1/16 \int [1 - cos(6x)]\cdot [1 - cos(12x)]\text{d}x = ... $

scusa ma è il mio stesso integrale, se sostituisci all'interno del tuo $3x=t$ avrai il mio stesso identico integrale

comunque sia, non so come si risolva un integrale nella forma $ \int cos(ax)cos(bx)$ avresti qualche suggerimento? ho provato ad usare le formule di duplicazione ma non ci salto fuori

[pilloeffe]

Facendo uso della seconda formula di Werner:

$cos(ax) cos(bx) = 1/2{cos[(a + b)x] + cos[(a - b)x]} $

[allessandro1]

grazie mille, gentilissima. Non volevo sembrare supponente, grazie ancora, finalmente ci sono saltato fuori

[pilloeffe]

"allessandro":grazie mille, gentilissimo.

Prego!