Integrale definito e integrale di linea.
Che differenza direste che c'è tra i due, se doveste spiegarla nei termini più intuitivi possibili?
(Ripropongo una vecchia questione con termini semplificati).
(Ripropongo una vecchia questione con termini semplificati).
Risposte
Scusa vorresti intendere integrale di linea definito e integrale di linea indefinito?
Guarda, intanto grazie per avermi risposto.
Io non ho mai fatto gli integrali a scuola, e ora, leggendo sul libro di fisica (Mencuccini-Silvestrini) ne ho letta una sommaria spiegazione. Ho incontrato solo gli integrali definiti, pur sapendo che esistono anche gli integrali indefiniti, e determinate costanti. In più so solo che esiste il teorema fondamentale del calcolo integrale che ci consente di calcolare le aree senza dover per forza ricorrere al complesso metodo dell'esaustione.
Studiando il lavoro, però, ho incontrato gli integrali di linea. Vedendo su wikipedia, ho solo confuso le idee. Tra l'altro, l'utente dissonance su questo forum mi ha dato un link in inglese, che ho cominciato anche a leggere. Poi ho pensato fosse un lavoro "inutile", almeno per il momento, e che potrei (il link era bellissimo, nonostante fosse in inglese) riprenderlo quando nel corso di analisi affronterò compiutamente gli integrali.
Per questo ora intuitivamente volevo cercare di "farmi un idea della cosa". Io penso che l'integrale di linea sia un operatore capace di calcolare come agisce una forza su una traiettoria in un campo vettoriale.
Anche se non ne sono sicuro, ed è proprio questo che chiedo.
Poi, sempre in tale confusione generale, non so se il suo calcolo può essere ricondotto a integrali definiti cosiddetti "semplici" in tutti i casi o solo per i campi di forze conservative. Ho visto infatti che, almeno in questa categoria di campi, posso calcolare un integrale di linea dividendolo in tre (nei campi definiti in $RR^3$) integrali cosiddetti semplici, seguendo un procedimento che è sul mio testo, che non riporto qui per brevità, perchè penso sia chiaro a chi legge.
Io non ho mai fatto gli integrali a scuola, e ora, leggendo sul libro di fisica (Mencuccini-Silvestrini) ne ho letta una sommaria spiegazione. Ho incontrato solo gli integrali definiti, pur sapendo che esistono anche gli integrali indefiniti, e determinate costanti. In più so solo che esiste il teorema fondamentale del calcolo integrale che ci consente di calcolare le aree senza dover per forza ricorrere al complesso metodo dell'esaustione.
Studiando il lavoro, però, ho incontrato gli integrali di linea. Vedendo su wikipedia, ho solo confuso le idee. Tra l'altro, l'utente dissonance su questo forum mi ha dato un link in inglese, che ho cominciato anche a leggere. Poi ho pensato fosse un lavoro "inutile", almeno per il momento, e che potrei (il link era bellissimo, nonostante fosse in inglese) riprenderlo quando nel corso di analisi affronterò compiutamente gli integrali.
Per questo ora intuitivamente volevo cercare di "farmi un idea della cosa". Io penso che l'integrale di linea sia un operatore capace di calcolare come agisce una forza su una traiettoria in un campo vettoriale.
Anche se non ne sono sicuro, ed è proprio questo che chiedo.
Poi, sempre in tale confusione generale, non so se il suo calcolo può essere ricondotto a integrali definiti cosiddetti "semplici" in tutti i casi o solo per i campi di forze conservative. Ho visto infatti che, almeno in questa categoria di campi, posso calcolare un integrale di linea dividendolo in tre (nei campi definiti in $RR^3$) integrali cosiddetti semplici, seguendo un procedimento che è sul mio testo, che non riporto qui per brevità, perchè penso sia chiaro a chi legge.
Alcune differenze concettuali ci sono, ma alla fine stiamo sempre lì: come la vedi la vedi, l'integrale rappresenta la "misura" di qualcosa.
Se su una curva stai integrando una funzione, allora (come nel caso degli integrali di funzioni di una variabile) ottieni un numero che rappresenta l'area di un oggetto facilmente visualizzabile; se invece stai integrando una forma differenziale lineare (come nel caso del calcolo del lavoro di in campo di forze), allora stai misurando qualcosa che è molto più difficile da "vedere" (ma che, alla fin fine, sempre un'area è...).
P.S.: Da questo post deduco come sia assurdo fare i corsi di Fisica/Fisica I in un solo semestre e prima della fine di Analisi I (per non parlare di Analisi II); per una buona comprensione delle dimostrazioni e dei concetti di base serve comunque un background analitico abbastanza buono e non basta certo quel poco che, ormai, si fa nei licei.
Se su una curva stai integrando una funzione, allora (come nel caso degli integrali di funzioni di una variabile) ottieni un numero che rappresenta l'area di un oggetto facilmente visualizzabile; se invece stai integrando una forma differenziale lineare (come nel caso del calcolo del lavoro di in campo di forze), allora stai misurando qualcosa che è molto più difficile da "vedere" (ma che, alla fin fine, sempre un'area è...).
P.S.: Da questo post deduco come sia assurdo fare i corsi di Fisica/Fisica I in un solo semestre e prima della fine di Analisi I (per non parlare di Analisi II); per una buona comprensione delle dimostrazioni e dei concetti di base serve comunque un background analitico abbastanza buono e non basta certo quel poco che, ormai, si fa nei licei.
Guarda, non vorrei parlarti di integrali che finirei solo col confonderti le idee, abbine solo chiare le applicazioni
Integrale Lineare indefinito : Primitive di una funzione, restituisce F: F'=f $int...dx$
Integrale Lineare definito (singolo,doppio e triplo) : Area o Volume (a seconda del tipo) di una curva rispetto ad uno o più assi (dipende dalla normalità) $int_a^b...dx$
Integrale Curvilineo indefinito : Lunghezza di una curva
Integrale Curvilineo definito : Lavoro di una forza per spostare una particella da un punto ad un'altro $int_gamma...ds$
Non potrei mai spiegarteli nemmeno superficialmente, visto che spaziano dal mio 4 liceo fino al mio corrente 2 anno di ingegneria. Lo sò purtroppo è molto difficile partire così, però ti posso dire che ho sostenuto Fisica2 ancor prima di conoscere le equazioni differenziali. Purtroppo la pianificazione dei piani di studio e delle loro propedeuticità è molto spesso erronea, cerca soltanto di approfondire solo ciò che ti serve veramente, ma sopratutto NON usare wikipedia, scende sempre troppo velocemente nel dettaglio, non procede gradualmente come dovresti provare a fare tu. Prova con un libro delle superiori, se non ti disturbo potrei sapere che superiori hai fatto e che università segui ora?
Integrale Lineare indefinito : Primitive di una funzione, restituisce F: F'=f $int...dx$
Integrale Lineare definito (singolo,doppio e triplo) : Area o Volume (a seconda del tipo) di una curva rispetto ad uno o più assi (dipende dalla normalità) $int_a^b...dx$
Integrale Curvilineo indefinito : Lunghezza di una curva
Integrale Curvilineo definito : Lavoro di una forza per spostare una particella da un punto ad un'altro $int_gamma...ds$
Non potrei mai spiegarteli nemmeno superficialmente, visto che spaziano dal mio 4 liceo fino al mio corrente 2 anno di ingegneria. Lo sò purtroppo è molto difficile partire così, però ti posso dire che ho sostenuto Fisica2 ancor prima di conoscere le equazioni differenziali. Purtroppo la pianificazione dei piani di studio e delle loro propedeuticità è molto spesso erronea, cerca soltanto di approfondire solo ciò che ti serve veramente, ma sopratutto NON usare wikipedia, scende sempre troppo velocemente nel dettaglio, non procede gradualmente come dovresti provare a fare tu. Prova con un libro delle superiori, se non ti disturbo potrei sapere che superiori hai fatto e che università segui ora?
"Gugo82":
P.S.: Da questo post deduco come sia assurdo fare i corsi di Fisica/Fisica I in un solo semestre e prima della fine di Analisi I (per non parlare di Analisi II); per una buona comprensione delle dimostrazioni e dei concetti di base serve comunque un background analitico abbastanza buono e non basta certo quel poco che, ormai, si fa nei licei.
Sono d'accordo al 100%.
ma che, alla fin fine, sempre un'area è...).
E' per caso, molto "banalmente", la parte di spazio che si trova al di sotto della curva in ogni suo punto?
Integrale Curvilineo definito : Lavoro di una forza per spostare una particella da un punto ad un'altro
Che, stando a quanto dice Gugo82, dovrebbe essere sempre un' area, vero?
P.S.: Da questo post deduco come sia assurdo fare i corsi di Fisica/Fisica I in un solo semestre e prima della fine di Analisi I (per non parlare di Analisi II); per una buona comprensione delle dimostrazioni e dei concetti di base serve comunque un background analitico abbastanza buono e non basta certo quel poco che, ormai, si fa nei licei.
Beh, sono d'accordo anche io.
P.S.- Faccio il primo anno di ingegneria; dicono che sono diplomato al liceo scientifico, ma io non ci credo molto...
"LipschitzianaMente":
Integrale Curvilineo indefinito
Devo essere sincero, "integrale curvilineo indefinito" non l'avevo mai sentito... sarà un metodo di calcolo rapido da ingegnere.
Tornando seri, la lunghezza di una curva regolare è, per l'appunto, il tipico esempio di integrale curvilineo definito (ATTENZIONE: tutti gli integrali, in matematica, sono "definiti"; la donominazione "integrale indefinito" è assolutamente impropria e sarebbe meglio usare "classe delle primitive" o qualcosa del genere).
"turtle87":ma che, alla fin fine, sempre un'area è...).
E' per caso, molto "banalmente", la parte di spazio che si trova al di sotto della curva in ogni suo punto?
No.
Ora provo a farti un esempio; ovviamente posso solo descriverti la situazione perchè non posso mostrarti alcun disegno. Prova a disegnare tu quello che ti dico, forse mi capirai meglio.
Immagina il grafico $G$ della funzione $f(x,y):=2-x^2-y^2$ definita nel cerchio di centro $(0,0)$ e raggio $1$: praticamente $G$ è una "cupoletta" con vertice in $(0,0,2)$ e base sulla circonferenza di centro $(0,0,1)$ raggio $1$ parallela al piano $Oxy$, la quale si proietta tutto nel cerchio del piano $Oxy$ con centro in $O$ e raggio $1$.
Immagina ora di disegnare un segmento $gamma$ dentro il cerchio di centro $O$ e raggio $1$ sul piano $Oxy$ (un segmento qualunque, può essere pure un raggio o un diametro, ma non è necessario ai fini del discorso); ora imagina di tagliare $G$ con la "striscia" fatta dalle rette parallele all'asse $z$ passanti per i punti di $gamma$... Spero che mi abbia seguito fin qui disegnando.
Ebbene, l'integrale curvilineo di $f(x,y)$ esteso al segmento $gamma$ non è altro che l'area del pezzo di "striscia" delimitato in basso da $gamma$ ed in alto dal grafico $G$ di $f$.
E, infine, come si riconduce il loro calcolo di integrali definiti lineari?
Ci sono le apposite formulette che studierai in Analisi II.
P.S.: Prova a riguardare il mio post precedente, che ho aggiunto un esempio.
P.S.: Prova a riguardare il mio post precedente, che ho aggiunto un esempio.
Ok, penso di aver confermato quanto avevo intuito. Magari prendo carta e penna e raffiguro proprio la funzione passo passo. Cmq grazie a te per la disponibilità e grazie a tutti!
"Gugo82":Questo sì che è integralismo!
ATTENZIONE: tutti gli integrali, in matematica, sono "definiti"; la donominazione "integrale indefinito" è assolutamente impropria e sarebbe meglio usare "classe delle primitive" o qualcosa del genere
Al rogo chi parla di integrali indefiniti. Io fornisco i fiammiferi. Che i giovinotti apprestino le fascine.
"Fioravante Patrone":
[quote="Gugo82"]ATTENZIONE: tutti gli integrali, in matematica, sono "definiti"; la donominazione "integrale indefinito" è assolutamente impropria e sarebbe meglio usare "classe delle primitive" o qualcosa del genere
Questo sì che è integralismo![/quote]
ASDASDASDASD
La miglior battuta (non mia) che ho letto/ascoltato da una settimana a questa parte.
Complimenti FP.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo