Integrale definito - dove è che sbaglio?
[size=150]Calcolare l'area della regione del piano T compresa tra le funzioni f(x) = x(e^x) e l'asse x per x € [-1,1][/size]
la soluzione è 2/e
la funzione x(e^x) nell'intervallo [-1,1] è negativa tra [-1,0] e positiva tra [0,1] quindi dovrei dividere l'integrale in due ma con il segno - davanti a quello in cui la funzione è negativa nell'intervallo [-1,0]. Dove sbaglio?
la soluzione è 2/e
la funzione x(e^x) nell'intervallo [-1,1] è negativa tra [-1,0] e positiva tra [0,1] quindi dovrei dividere l'integrale in due ma con il segno - davanti a quello in cui la funzione è negativa nell'intervallo [-1,0]. Dove sbaglio?
Risposte
qual è il senso di dividere l'intervallo in quel modo? la funzione è continua quindi no hai nessun problema.
\[\left[e^{x}( x-1)\right]_{-1}^{1}= e^{1}(1-1)-\left(e^{-1}( -1-1)\right) =0+2e^{-1}\]
\[\left[e^{x}( x-1)\right]_{-1}^{1}= e^{1}(1-1)-\left(e^{-1}( -1-1)\right) =0+2e^{-1}\]
"androidiano":
[size=150]
la funzione x(e^x) nell'intervallo [-1,1] è negativa tra [-1,0] e positiva tra [0,1] quindi dovrei dividere l'integrale in due ma con il segno - davanti a quello in cui la funzione è negativa nell'intervallo [-1,0]. Dove sbaglio?
perchè?
Copio e incollo da internet: "Se la funzione è negativa in [a,b] sono negative anche le somme integrali
superiori e inferiori quindi anche il limite comune a cui tendono per n -> infinito e che , in valore assoluto rappresenta l’area del trapezoide. Pertanto , nell’intervallo in cui la funzione è negativa occorre fa precedere l’integrale definito dal segno meno."
superiori e inferiori quindi anche il limite comune a cui tendono per n -> infinito e che , in valore assoluto rappresenta l’area del trapezoide. Pertanto , nell’intervallo in cui la funzione è negativa occorre fa precedere l’integrale definito dal segno meno."
sempre da internet: "Nel caso in cui la funzione nell’intervallo [a.b] assuma sia valori positivi che
valori negativi,occorre calcolare l’integrale come somma degli integrali
calcolati sugli intervalli aventi per estremi, oltre ad a e b , i punti in cui la
funzione interseca l’asse delle ascisse, passando da positiva a negativa e
viceversa; ricordando che gli integrali relativi agli intervalli in cui la funzione
è negativa devono essere preceduti dal segno meno."
e dal sito RIPMAT
http://www.ripmat.it/mate/c/ck/ckebb.html
http://www.ripmat.it/mate/c/ck/ckebc.html
valori negativi,occorre calcolare l’integrale come somma degli integrali
calcolati sugli intervalli aventi per estremi, oltre ad a e b , i punti in cui la
funzione interseca l’asse delle ascisse, passando da positiva a negativa e
viceversa; ricordando che gli integrali relativi agli intervalli in cui la funzione
è negativa devono essere preceduti dal segno meno."
e dal sito RIPMAT
http://www.ripmat.it/mate/c/ck/ckebb.html
http://www.ripmat.it/mate/c/ck/ckebc.html
Forse quando si chiede di calcolare l'integrale definito in [a.b] non lo si spezza, quando si deve calcolare l'area allora si va a vedere il segno della funzione nell'intervallo, che ne pensate?
Se devi calcolare l'area (intesa come area aritmetica, cioè positiva), mi sembra corretto dover spezzare l'integrale in quel modo. E se è così il risultato deve essere $2-2/e$ come hai calcolato.
Tuttavia è possibile che la richiesta fosse di calcolare l'area algebrica? Cioè tenendo conto che un pezzo ha area positiva e uno negativa, e quindi procedere direttamente come dice Noisemaker.
O ancora, considerando la figura che hai disegnato: per caso la funzione da integrare è questa $f(x) x e^{-x}$? Perché se così fosse, seguendo il tuo metodo avresti:
$\int x e^{-x}\ dx=-(1+x)e^{-x}$
e quindi
$A=-[-(1+x)e^{-x}]_{-1}^0+[-(1+x)e^{-x}]_0^1=-[-1]+[-2e^{-1}+1]=2-2/e$
e comunque viene come dicevi prima. Non so, bisognerebbe capire meglio cosa richiede l'esercizio. (Oppure, cosa possibile, è sbagliato il risultato).
Tuttavia è possibile che la richiesta fosse di calcolare l'area algebrica? Cioè tenendo conto che un pezzo ha area positiva e uno negativa, e quindi procedere direttamente come dice Noisemaker.
O ancora, considerando la figura che hai disegnato: per caso la funzione da integrare è questa $f(x) x e^{-x}$? Perché se così fosse, seguendo il tuo metodo avresti:
$\int x e^{-x}\ dx=-(1+x)e^{-x}$
e quindi
$A=-[-(1+x)e^{-x}]_{-1}^0+[-(1+x)e^{-x}]_0^1=-[-1]+[-2e^{-1}+1]=2-2/e$
e comunque viene come dicevi prima. Non so, bisognerebbe capire meglio cosa richiede l'esercizio. (Oppure, cosa possibile, è sbagliato il risultato).
La figura che ho disegnato è di esempio comunque ho rivisto gli appunti e quando è richiesto il calcolo dell'area si fa in questo modo
"androidiano":
La figura che ho disegnato è di esempio comunque ho rivisto gli appunti e quando è richiesto il calcolo dell'area si fa in questo modo
Non lo metto in dubbio ed è quello che ti ho detto pure io (rileggi ciò che ho scritto). Ciò che ripeto è che il valore $2/e$ è l'area algebrica, mentre per area, in generale, si intende quella aritmetica. E, ripeto, sarebbe da capire esattamente cosa richiede l'esercizio.
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