Integrale definito di funzione irrazionale fratta

[Shingezu]

So che da regolamento non si dovrebbe chiedere aiuto in questo modo, ma davvero non so che pesci pigliare, ho questo integrale definito da risolvere:

$ \int_-1^1 (dx)/sqrt{4-3x^2}$

Ecco i miei tentativi miseramente falliti
$t=4-3x^2$ ma ciò porta a $\int_-1^1\frac{1}{\sqrt{t}} d(\sqrt{\frac{4-t}{3}})$ che non ho la più pallida idea di come continuare...

Il secondo tentativo forse potrebbe portare a qualcosa ma non so bene come ho riscritto la frazione come esponente:
$ \int_-1^1(4-3x^2)^{-1/2}$

Purtroppo anche qui mi blocco...

è possibile questo passaggio?

$1/\sqrt{4} \int_-1^1 (-3x^2)^{-1/2}$

[Rigel1]

Prova a usare il solito metodo di completamento del quadrato:
\[
4 - 3x^2 = 4\left[1-\left(\frac{\sqrt{3} x}{2}\right)^2\right]
\]
e poi fai il cambiamento di variabili \(t = \frac{\sqrt{3} x}{2}\) che ti riconduce a un integrale immediato.

[Shingezu]

Un'altra cosa mi sfugge, quando sostituisco, la x del differenziale diventa semplicemente da $dx$ $dt$ oppure devo sostituirla ricavandola dalla sostituzione stessa e mi trovo un $d(2t/\sqrt{3})$?
Perchè in tal caso non so di nuovo che fare, mi scuso per la mia ignoranza ma sto seriamente lottando contro il rifiuto degli integrali a lasciarsi capire da me, certamente le mie sono domade stupide agli occhi di chi ha il concetto ben chiaro

[Rigel1]

Sul tuo libro dovrebbe esserci il teorema di integrazione per sostituzione; potrebbe essere una buona idea dargli un'occhiata.
Comunque, formalmente il cambiamento di variabili è
\[
t = \frac{\sqrt{3}x}{2}\ \Longrightarrow\ dt = \frac{\sqrt{3}}{2}\, dx
\]
o, se preferisci, \( dx = \frac{2}{\sqrt{3}} dt\).

[Noisemaker]

Premetto che i suggerimenti che ti sono stati dati sono senz'altro i più significativi, ma mi permetto di evidenziare alcune sostituzioni particolari, che magari ti possono essere utili anche in altri contesti.
Trasformando il trinomio di secondo grado $ax^2+bx+c$ in una somma o differenza di quadrati (come tra l'atro ti è già stato suggerito), l'integrale del tipo:
\begin{align*}
\int R\left( x, \sqrt{ax^2+bx+c}\right)\,\,dx,
\end{align*}
si riconduce a una delle seguenti forme e può essere ricondotto ad una funzione razionale mediante la sostituzione indicata a fianco:
\begin{align*}
I)&\int R\left( x, \sqrt{a ^2+ x^2}\right)\,\,dx \qquad\qquad x=a\tan t \quad \text{oppure}\quad x=a\sinh t\\
II) &\int R\left( x, \sqrt{x ^2- a^2}\right)\,\,dx \qquad\qquad x=a\sec t \quad \text{oppure}\quad x=a\cosh t \\
III)&\int R\left( x, \sqrt{a ^2- x^2}\right)\,\,dx \qquad\qquad x=a\sin t \quad \text{oppure}\quad x=a\tanh t
\end{align*}
ricordando che:
\begin{align*}
\sinh t &=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\quad &\cosh t &=\frac{e^x+e^{-x}}{2} \quad &\tanh t &=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \\
\sinh^{-1} x &=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)&\quad \cosh^{-1} t &=\ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right) \quad &\tanh^{-1} t &=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+x}{1-x }\right)
\end{align*}

allora nel tuo caso, per la ricerca dell'insieme delle primitive, avrai:

\begin{align*}
\int \frac{dx} {\sqrt{4-3x^2}}= \int \frac{dx} {\sqrt{3\left(\frac{4}{3}-x^2\right)}}=\int \frac{dx} {\sqrt 3\cdot\sqrt{ \frac{4}{3}-x^2 }}=\frac{1}{\sqrt 3}\int \frac{dx} {\sqrt{ \left(\frac{2}{\sqrt 3}\right)^2-x^2 }}
\end{align*}
a questo punto poni
\begin{align*}
x=\frac{2}{\sqrt 3}\sin t\qquad\to\qquad t=\arcsin \frac{\sqrt 3}{2}x \qquad\to\qquad dx=\frac{2}{\sqrt 3}\cos tdt\\
\end{align*}
e l'integrale diventa
\begin{align*}
\frac{1}{\sqrt 3}\int \frac{\frac{2}{\sqrt 3}\cos tdt} {\sqrt{ \left(\frac{2}{\sqrt 3}\right)^2-\left(\frac{2}{\sqrt 3}\right)^2\sin^2t }}&=\frac{1}{\sqrt 3}\int \frac{\frac{2}{\sqrt 3}\cos tdt} {\frac{2}{\sqrt 3}\cdot\sqrt{ 1-\sin^2t }}=\frac{1}{\sqrt 3}\int \frac{\cos tdt} {\cos t}=\frac{1}{\sqrt 3}\int dt=\frac{1}{\sqrt 3} t\\
&=\frac{1}{\sqrt 3} \arcsin \frac{\sqrt 3}{2}x+c
\end{align*}

infine per il calcolo del valore dell'integrale, osserva che la funzione integranda è pari, infatti $f(-x)=f(x)$, l'integrale di partenza è uguale a
\begin{align*}
\int_{-1}^1 \frac{dx} {\sqrt{4-3x^2}}= 2 \int_{0}^1 \frac{dx} {\sqrt{4-3x^2}}=2\left[\frac{1}{\sqrt 3} \arcsin \frac{\sqrt 3}{2}x\right]_{0}^1=2\left[\frac{1}{\sqrt 3} \arcsin \frac{\sqrt 3}{2}-0\right]=\frac{2\pi}{3\sqrt 3}
\end{align*}

[Shingezu]

Vi ringrazio entrambi, volevo dire che ho seguito il consiglio di Rigel sono andato a ripassarmi la sostituzione per parti, ma da un altro libro dal quale mi è risultato più semplice capire come funziona, il problema che ho è che non sempre riesco a "vedere" tale sostituzione, ovviamente quando mi fanno notare come si può sostituire mi sento un deficente a non averlo notato, io continuo a esercitarmi sperando di prenderci un po la mano e finalmente riconoscere le forme a cui ricondurre un integrale, più di questo non so che fare...
per quanto riguarda la risposta di Noisemaker temo sia troppo avanzata per il mio livello, ho cercato di leggerla e capirla, ma molte cose sono rimaste oscure, l'impegno che ho messo a cercare di capirla mi è sembrato dovuto visto che per scriverla avrai impiegato un bel po...
Per finire voglio ringraziare ancora una volta la comunità di questo forum che è formata da persone piene di passione che hanno la pazienza per impegnarsi a chiarire dubbi e rispondere alle domande di chi come me è proprio scarso in quel campo, veramente complimenti