Integrale definito di $e^(x^2)$

[Nebula2]

in un esercizio non sono riuscito a fare a meno di avere $\int_0^1 e^(x^2) dx$, ma non sono riuscito a calcolarlo.
si può?

[pater46]

Non credo sia possibile trovare una primitiva elementare per quella funzione. http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=e^x^2

[Mathcrazy]

"Nebula":in un esercizio non sono riuscito a fare a meno di avere $\int^1_0 e^(x^2) dx$, ma non sono riuscito a calcolarlo.
si può?

Questo integrale può essere risolto in tanti modi, ma penso che servano conoscenze di almeno Analisi I e mezzo!.
Ad esempio possiamo sviluppare la funzione in serie di potenze come serie di Taylor.

Ricordo che [tex]$f(x) = e^{x}= \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!}$[/tex]

Quindi [tex]$e^{x^2} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{2n}}{n!}$[/tex] [tex]$\forall x \in R$[/tex]

Quindi integriamo per serie:

[tex]$\int e^{x^2} dx = \int \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{2n}}{n!} dx = \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n!} \frac{x^{2n+1}}{2n+1}}$[/tex]


Lo vuoi calcolare tra [tex]$0$[/tex] e [tex]$1$[/tex], possiamo farlo poiché la serie è sviluppabile [tex]$\forall x \in R$[/tex].
Quindi:

[tex]$\int_{0}^{1} \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{2n}}{n!} dx =\left[ { \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!} \frac{x^{2n+1}}{2n+1}}} \right]_{0}^{1} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!} \frac{1^{2n+1}}{2n+1}} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!} \frac{1}{2n+1}}$[/tex]


Vi suggerisco altri integrali che si possono risolvere in maniera praticamente identica a quella che ho mostrato, ad esempio,
se volete cimentarvi:

[tex]$\int_{0}^{1} \frac {sinx}{x} dx$[/tex]

[tex]$\int_{0}^{1} \frac{arcsin x}{x} dx$[/tex]

[tex]$\int_{0}^{1} \frac{1-cosx}{x^2} dx$[/tex]

[tex]$\int_{0}^{1} \frac{1-cosx}{x} dx$[/tex]

Se me ne vengono altri li metto !

[fireball1]

C'è qualcosa che non va... Il risultato dell'integrale non può dipendere da [tex]n[/tex] (c'è [tex]\frac{1}{n!}[/tex] che moltiplica la serie)...

Poi i passaggi che hai fatto di scambiare serie con integrale, per me non sono banali...

[Mathcrazy]

"fireball":C'è qualcosa che non va... Il risultato dell'integrale non può dipendere da [tex]n[/tex] (c'è [tex]\frac{1}{n!}[/tex] che moltiplica la serie)...

.

Si, ovviamente [tex]$\frac{1}{n!}$[/tex] è dentro la sommatoria,ci mancherebbe !!
Thanks, attento come sempre fireball!!!

Cosa non è chiaro dei passaggi?

[pater46]

Mmm.. ma per giungere ad un risultato reale non bisognerebbe saper trovare quanto vale esattamente quella somma?

A dirla tutta, non avevo nemmeno pensato a risolverlo così

@ fireball: in questi casi bisogna prima constatare l'uniforme convergenza della $f_n(x) $ ?

[fireball1]

"pater46":@ fireball: in questi casi bisogna prima constatare l'uniforme convergenza della $f_n(x) $ ?

Eh già... Per quello dicevo che non sono banali... Bisogna farli con cautela secondo me.

[Mathcrazy]

Si ma in questo caso è piuttosto banale verificare che c'è convergenza uniforme, poiché trattandosi di una serie di potenze di raggio [tex]\rho= +\infty[/tex] c'è conv uniforme in ogni intervallo chiuso e limitato di [tex]R[/tex] e quindi anche in [tex][0,1][/tex]

---

"pater46":
@ fireball: in questi casi bisogna prima constatare l'uniforme convergenza della $f_n(x) $ ?

No, non è del tutto corretto,

Prendi una successione di funzioni [tex]$f_n : [a,b] \rightarrow R[/tex] [tex]\forall n \in R$[/tex] continua in [tex]$[a,b]$[/tex]
e una funzione [tex]$f : [a,b] \rightarrow R$[/tex]

A noi interessa che la serie [tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} {f_n(x)}$[/tex] converga a [tex]$f$[/tex] uniformemente in [tex]$[a,b]$[/tex].

mentre tu parli di [tex]$f_n(x)$[/tex],cioè della successione di funzioni.

[pater46]

Guarda ho una confusione immane riguardo a queste convergenze uniformi, il professore di ANII ha spiegato questa teoria molto velocemente e non si è preoccupato troppo di specificare quando da convergere uniformemente era la $f_n(x)$ o la $ sum f_n(x) $...

Allora, a quanto ho capito, quando si parla di passare il segno dell'integrale o della derivata ( mamma mia che brutta scrittura! ) in una Serie, bisogna prestare attenzione al fatto che la SERIE di funzioni sia uniformemente convergente, non la successione in se?

Grazie della precisazione Math, comunque Ne discutevo proprio oggi con alcuni colleghi che avevano gl istessi dubbi

[Mathcrazy]

facciamo un po di chiarezza, poi andiamo a nanna e magari ne riparliamo domani
Spoilerizzo il tutto, poiché non centra col topic iniziale:

Prima di tutto ti invito ad osservare che quando ti trovi di fronte ad una serie di funzioni del tipo [tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} f_n(x)[/tex] devi, semplicemente, pensare alla somma di infinite funzioni ([tex]$f_0 , f_1 ,.... f_n,......$[/tex] ).

Premesse:
Come definiamo una serie di funzioni?

Prendiamo una successione di funzioni [tex]$\{f_n(x)\}_{n \in N}[/tex] tale che [tex]\forall n \in N : f_n : I \rightarrow R$[/tex]
Consideriamo poi una funzione [tex]$f : I \rightarrow R$[/tex]

Infine consideriamo una particolare successione chiamata somma parziale n-esima ([tex]s_n[/tex]), che altro non è che la somma di un numero finito di funzioni (cioè la somma delle prime [tex]$n$[/tex] funzioni): [tex]$s_n = \sum_{k=0}^{n} {f_k(x)} = f_0 + f_1 +...+f_n$[/tex]

- La serie [tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} f_n(x)[/tex] converge puntualmente a [tex]$f$[/tex] in [tex]$J \subseteq I \Leftrightarrow$[/tex] [tex]$\forall x_0 \in J :$[/tex] [tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} f_n(x_0)$[/tex] (che adesso è diventata una serie numerica poiché abbiamo fissato la [tex]x[/tex]), converge a [tex]f[/tex].

- La serie [tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} f_n(x)[/tex] converge assolutamente a [tex]$f$[/tex] in [tex]$J \subseteq I \Leftrightarrow$[/tex] [tex]$\forall x_0 \in J :$[/tex] [tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} | f_n(x_0)|$[/tex] (serie numerica poiché abbiamo fissato la [tex]x[/tex]), converge a [tex]f[/tex]. (cioè, fissata la [tex]x[/tex], la serie ti deve convergere in valore assoluto)

- La serie [tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} f_n(x)[/tex] converge uniformemente a [tex]$f$[/tex] in [tex]$J \subseteq I \Leftrightarrow$[/tex] [tex]$lim_{n \rightarrow + \infty} s_n(x) = f$[/tex] uniformemente in [tex]$J \subseteq I \Leftrightarrow$[/tex] (cioè la successione di funzioni [tex]s_n(x)[/tex] deve conv. uniformemente a [tex]f[/tex])

- La serie [tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} f_n(x)$[/tex] converge totalmente a [tex]$f$[/tex] in [tex]$J \subseteq I \Leftrightarrow$[/tex] [tex]$\exists \{M_n\}$[/tex] una sucessione numerica tale che:

1) [tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} M_n[/tex] converge (è una serie numerica)
2) [tex]$|f_n(x)| \le M_n$[/tex]

Insomma queste sono delle premesse, che è bene tenere presente..
Ora, i teoremi a cui fai riferimento sono il teorema di continuità della somma di una serie, il teorema di integrazione per serie e il teorema di derivazione per serie.

Teorema di continuità della somma di una serie

Presa una successione di funzioni [tex]$f_n:I -> R$[/tex] [tex]$\forall n \in N$[/tex] e una funzione [tex]$f:I->R$[/tex]

Se :

1) [tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} f_n$[/tex] converge uniformemente a [tex]$f$[/tex] in [tex]$I$[/tex]
2) [tex]$f_n$[/tex] è continua in [tex]$I$[/tex]

Allora anche [tex]$f$[/tex] è continua in [tex]$I$[/tex]

Teorema di integrazione per serie

Prendiamo, stavolta, una successione di funzioni [tex]$f_n:[a,b]->R$[/tex] continua in [tex]$[a,b]$[/tex] e una funzione [tex]$f:[a,b]->R$[/tex]

Se:

1) [tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} f_n$[/tex] converge uniformemente a [tex]$f$[/tex] in [tex]$[a,b]$[/tex]

Allora:
[tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} {\int_{a}^{b} f(x) dx} = {\int_{a}^{b} f(x) dx} = \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{+\infty} f_n(x) dx$[/tex]

Poi c'e' il teorema di derivazione per serie che però, magari aggiungo domani (sono un po stanco ora!).
Ovviamente questi teoremi si possono tutti dimostrare facendo riferimento ai teoremi sulla continuità del limite uniforme, di passaggio al limite sotto segno di integrale e di passaggio al limite sotto segno di derivata, relativi a successioni di funzioni.

Chiaro fin qui??, spero di non averti confuso troppo!. forse mi sono dilungato parecchio; in ogni caso su qualunque buon manuale di Analisi II trovi ben approfonditi questi argomenti; io ho cercato di fartene uno schema riassuntivo.

[pater46]

Confuso? Hai fatto molto più del dovuto, e sei stato chiarissimo Avevo alcune definizioni degli ultimi teoremi inesatte, le ho appena corrette

Non ero proprio bianco su questi argomenti, comunque apprezzo il fatto che hai voluto partire dal principio, mi ha chiarito alcune lacune Danke!

[Mathcrazy]

Figurati; comunque domani sera ridò uno sguardo per correggere eventuali imprecisioni e, dato che ti ha fatto piacere, vedrò di aggiungere qualcosina.

[Nebula2]

in un certo senso sono d'accordo con pater46...
che l'integrale sia finito penso si veda senza dover ricorrere alla serie, calcolare il valore di quella serie io non sarei in gradi di farlo...
e sfortunatamente avrei avuto bisogno di calcolare questo integrale usando solo integrazione per parti e per sostituzione (oltre a matematica spicciola di liceo).
comunque grazie per il suggerimento.

[gugo82]

@Nebula: Quell'integrale non è calcolabile elementarmente (ossia con i metodi di Analisi I), né la somma della serie ha un'espressione elementare.
Questi due fatti sono notissimi, perciò nessun matematico avrebbe mai potuto assegnare un esercizio del genere da risolvere con gli artifici che citi.