Integrale definito : consiglio pratico
devo svolgere questo integrale ? (esercizio d'esame )
$\int_0^1f(x)dx$
$f(x)=xsqrt(x^2+1)$
applico il metodo per parti :
e data la funzione pongo che:
$f'(x)=sqrt(x^2+1)$ e $g(x)=x$ così da semplificare i calcoli dato che la derivata di x è 1 .
per calcolare la f(x) devo calcolare la primitiva di f'(x) :
$\int_0^1sqrt(x^2+1)dx$
$\int_0^1(x^2+1)^(1/2)dx=[(x^2+1)^(3/2)]/(3/2)=(2/3)xxsqrt((x^2+1)^3) $
volevo sapere se è giusto sia il metodo per parti per tale integrale e se ho calcolato bene la primitiva di f'(x)??
GRAZIE A TUTTI
$\int_0^1f(x)dx$
$f(x)=xsqrt(x^2+1)$
applico il metodo per parti :
e data la funzione pongo che:
$f'(x)=sqrt(x^2+1)$ e $g(x)=x$ così da semplificare i calcoli dato che la derivata di x è 1 .
per calcolare la f(x) devo calcolare la primitiva di f'(x) :
$\int_0^1sqrt(x^2+1)dx$
$\int_0^1(x^2+1)^(1/2)dx=[(x^2+1)^(3/2)]/(3/2)=(2/3)xxsqrt((x^2+1)^3) $
volevo sapere se è giusto sia il metodo per parti per tale integrale e se ho calcolato bene la primitiva di f'(x)??
GRAZIE A TUTTI
Risposte
Integrare per parti quella funzione sarebbe come sparare ad un topo con un bazooka 
Moltiplica per $2$ sotto il segno di integrale e metti $1/2$ fuori: noti qualcosa?
Giuseppe.
Moltiplica per $2$ sotto il segno di integrale e metti $1/2$ fuori: noti qualcosa?
Giuseppe.
"LucaC":
$\int_0^1(x^2+1)^(1/2)dx=[(x^2+1)^(3/2)]/(3/2)=(2/3)xxsqrt((x^2+1)^3) $
volevo sapere se è giusto
No. Questo lo puoi fare quando c'hai la $x$ che moltiplica quella roba.
è un integrale rognoso, dovrebbe farsi con delle opportune sostituzioni, tipo seno o coseno 
Ma no Obi! Non gli conviene per niente integrare per parti per giungere a quell'ultimo integrale! Sono solo io che lo vedo nella forma $\int f(x)^\alpha f'(x)$??? (o meglio, riconducibile a quella)
"Plepp":
Ma no Obi! Non gli conviene per niente integrare per parti per giungere a quell'ultimo integrale! Sono solo io che lo vedo nella forma $\int f(x)^\alpha f'(x)$??? (o meglio, riconducibile a quella)
Infatti ho scritto sostituzione
Io direi di porre $x=sinht$, da cui si ricava $dx=cosht$ e quindi $sqrt(x^2+1)=cosht$
Quindi si deve risolvere $\int cosh^2tdt$ e poi riportare nella variabile $x$
Non ci siamo capiti volevo dire: non gli conviene integrare la sua $f$ ($=x\sqrt{x^2+1}$) per parti per poi giungere a quell'altro integrale, che come dici tu si potrebbe calcolare con la sostituzione...
PS. Hai studiato dal Bramanti-Pagani-Salsa?
volevo dire: non gli conviene integrare la sua $f$ ($=x\sqrt{x^2+1}$) per parti per poi giungere a quell'altro integrale, che come dici tu si potrebbe calcolare con la sostituzione...PS. Hai studiato dal Bramanti-Pagani-Salsa?
Sisi sono poco sveglio oggi!
Oddio stavo integrando un'altra funzione! io stavo integrando $f(x) =sqrt(x^2+1)$
Sisi, bisogna fare come dici tu giustamente nel suo caso
Oddio stavo integrando un'altra funzione! io stavo integrando $f(x) =sqrt(x^2+1)$
Sisi, bisogna fare come dici tu giustamente nel suo caso
ragazzi grazie dei consigli , ma potreste essere un pò piu esplicativi ( se nn chiedo troppo ) ?!
pep : come mi hai suggerito precedentemente ottengo
$(1/2)\int_0^1(2xsqrt(x^2+1))dx$ , io sinceramente non riesco a notare niente che mi faccia svoltare ,perchè?cosa mi sfugge?
pep : come mi hai suggerito precedentemente ottengo
$(1/2)\int_0^1(2xsqrt(x^2+1))dx$ , io sinceramente non riesco a notare niente che mi faccia svoltare ,perchè?cosa mi sfugge?
"Obidream":
Sisi sono poco sveglio oggi!
Oddio stavo integrando un'altra funzione! io stavo integrando $f(x) =sqrt(x^2+1)$
Sisi, bisogna fare come dici tu giustamente nel suo caso
Fai sempre piu bella figura di me, che sostituisco il $pi/2$ al posto del seno
ogni tanto diamo i numeri
"LucaC":
ragazzi grazie dei consigli , ma potreste essere un pò piu esplicativi ( se nn chiedo troppo ) ?!
pep : come mi hai suggerito precedentemente ottengo
$(1/2)\int_0^1(2xsqrt(x^2+1))dx$ , io sinceramente non riesco a notare niente che mi faccia svoltare ,perchè?cosa mi sfugge?
L'integrale è ora nella forma $\int f^n(x)f'(x)$. Ti trovi?
"Plepp":
[quote="Obidream"]Sisi sono poco sveglio oggi!
Oddio stavo integrando un'altra funzione! io stavo integrando $f(x) =sqrt(x^2+1)$
Sisi, bisogna fare come dici tu giustamente nel suo caso
Fai sempre piu bella figura di me, che sostituisco il $pi/2$ al posto del seno
ogni tanto diamo i numeri [/quote]Possiamo consolarci, sapendo che per come avevamo inteso noi il testo era giusto
Comunque ho studiato dal Canuto-Tabacco, alla fine uno degli autori è il Papa del Dipartimento di Matematica del Politecnico
"Obidream":
[quote="Plepp"][quote="Obidream"]Sisi sono poco sveglio oggi!
Oddio stavo integrando un'altra funzione! io stavo integrando $f(x) =sqrt(x^2+1)$
Sisi, bisogna fare come dici tu giustamente nel suo caso
Fai sempre piu bella figura di me, che sostituisco il $pi/2$ al posto del seno
ogni tanto diamo i numeri [/quote]Possiamo consolarci, sapendo che per come avevamo inteso noi il testo era giusto
Comunque ho studiato dal Canuto-Tabacco, alla fine uno degli autori è il Papa del Dipartimento di Matematica del Politecnico
[/quote]Wow
te l'ho chiesto perchè hai proposto quella particolare sostituzione, che ho trovato solo sul Bramanti gli altri non mettono in mezzo tutti sti seni e coseni iperbolici
In effetti nel mio libro lo integra per parti e mi sembra decisamente più semplice, anche se è molto meno figo
"Obidream":
In effetti nel mio libro lo integra per parti e mi sembra decisamente più semplice, anche se è molto meno figo
Ah si senza dubbio
(basta OT che mo ci cacciano )
quindi si Integra per Parti???
No.
L'integrale è ora nella forma $\int f^n(x)f'(x)$. Ti trovi?[/quote]
"Plepp":
[quote="LucaC"]ragazzi grazie dei consigli , ma potreste essere un pò piu esplicativi ( se nn chiedo troppo ) ?!
pep : come mi hai suggerito precedentemente ottengo
$(1/2)\int_0^1(2xsqrt(x^2+1))dx$ , io sinceramente non riesco a notare niente che mi faccia svoltare ,perchè?cosa mi sfugge?
L'integrale è ora nella forma $\int f^n(x)f'(x)$. Ti trovi?[/quote]
si fin qua ci sono , e , se nn sbaglio , una volta ottenuta questa forma si applica la sostituzione , ma a cosa ?
"LucaC":
si fin qua ci sono , e , se nn sbaglio , una volta ottenuta questa forma si applica la sostituzione , ma a cosa ?
Si tratta di applicare una regola di integrazione che sicuramente avrai nel tuo libro, come cercava di suggerire Plepp
$\int xsqrt(x^2+1) dx$
Si nota che la derivata dell'argomento della radice è $2x$ e tu hai davanti alla radice un fattore $x$... quindi l'idea è moltiplicare e dividere per $2$ per avere davanti alla radice $2x$ e poter applicare la regola di integrazione:
$\int f '(x)*f(x)^\alpha dx=f(x)^(\alpha +1)/(\alpha +1)$, dove $\alpha$ può assumere tutti i valori reali eccetto $-1$
Ma è superflua la sostituzione: è immediato come integrale...la sostituzione la usi implicitamente ponendo
\[t:=x^2+1\]
da cui
\[dt=2x\ dx\]
Quindi hai
\[\dfrac{1}{2}\int 2x\sqrt{x^2+1}\ dx=\dfrac{1}{2}\int \sqrt{t}\ dt=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{t^{1/2+1}}{1/2+1}\]
Dal momento che stai facendo l'integrazione definita però, ricorda di cambiare anche gli estremi d'integrazione...
\[t:=x^2+1\]
da cui
\[dt=2x\ dx\]
Quindi hai
\[\dfrac{1}{2}\int 2x\sqrt{x^2+1}\ dx=\dfrac{1}{2}\int \sqrt{t}\ dt=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{t^{1/2+1}}{1/2+1}\]
Dal momento che stai facendo l'integrazione definita però, ricorda di cambiare anche gli estremi d'integrazione...
ho capitoo grazieeeee !!
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