Integrale definito con radice

[Benny24]

Calcolare $int_-a^ax^2/(sqrt(a-x^2))dx$

Sostituisco $x=sqrt(a)*sen(t)$, dunque $dx=sqrt(a)*cos(t)dt$ e ottengo $int_b^c-sqrt(a)*(sen^2(t))/cos(t)dt$. Voi come andreste avanti?
Il risultato è qui.

[strangolatoremancino]

Potresti scrivere il $sen^2(t)$ come $1 - cos^2(t)$ e dividere la frazione.

[Aliseo1]

beh è giusto il tuo ragionamento, solo hai dimenticato di dire che $ \sqrt(a-x^2) $ diventa $ \sqrt(a)*cos(t) $. Dunque il tuo integrale diventa $ a \int sin^2(t)dt $ da cui ...

[Benny24]

Che pollo, ho scritto $a*cos^2(t)$ anzichè $sqrt(a)*cos(t)$ a denominatore prima di semplificare.
A questo punto si ha
$a*intsin^2(t)dt=ax-a*intcos^2(x)=ax-a*sin(x)cos(x)-a*intsin^2(t)dt$ da cui $a*intsin^2(t)dt=at/2-a/4*sin(2t)$. Dunque sostituendo $x$ a $t$ si ha
$a/2*arcsin(x/sqrt(a))-1/4*x*sqrt(a-x^2)$ che non coincide con quanto datomi dal sito The Integrator. Dovrebbe essere
$1/2*(a*arctg(x/sqrt(a-x^2))-x*sqrt(a-x^2))$ Dove ho sbagliato?

[Aliseo1]

Allora, $ \int sin^2(t) dt = (at)/2 - (a*sin(t)*cos(t))/2 + c $ con $c \in RR$. Ora, considerando le sostituzioni fatte prima a me esce $ 1/2*(a*arcsin(x/\sqrt(a))-x*\sqrt(a-x^2)) $. Sicché $ [1/2*(a*arcsin(x/\sqrt(a))-x*\sqrt(a-x^2))]_{-a}^{a}= .............

[gugo82]

Benny, sei sicuro degli estremi d'integrazione?

A me non sembrano buoni... Soprattutto se $a>1$.

[Benny24]

Hai ragione Gugo. Avrebbero dovuto $sqrt(a)$ e -$sqrt(a)$. Chiedo scusa.

Che ne dite di $a/2*t=a/2*arctg(tg(t))=a/2*arctg(sin(t)/sqrt(1-sin^2(t)))=a/2*arctg(x/sqrt(a-x^2))$?