Integrale definito con potenze di seno e coseno

[FM931]

Buon pomeriggio
altro limite altri dubbi
L'esercizio è il seguente:

$\int_{\frac{\Pi }{6}}^{\frac{\Pi}{3}}\frac{sen^3x(cosx)}{cos^3x-1}dx$

Svolgimento

Ho seguito il seguente ragionamento:

$\int_{\frac{\Pi }{6}}^{\frac{\Pi}{3}}\frac{sen^3x(cosx)}{cos^3x-1}dx=-\int_{\frac{\Pi}{6}}^{\frac{\Pi}{3}}\frac{sen^2x(cosx)(-senx)}{cos^3x-1}dx=$

$-\int_{\frac{\Pi}{6}}^{\frac{\Pi}{3}}\frac{(1-cos^2x)(cosx)(-senx)}{cos^3x-1}dx$

Applicando il principio di sostituzione per integrali definiti:

$ cosx=t;$

$-senx=dt;$

$ t(\frac{\Pi}{3})=cos(\frac{\Pi}{3})=\frac{1}{2}; $

$t(\frac{\Pi}{6})=cos(\frac{\Pi}{6})=\frac{\sqrt3}{2)$

$\int_{\frac{\sqrt3}{2}}^{\frac{1}{2}}\frac{t^3-t}{t^3-1}dt=\int_{\frac{\sqrt3}{2}}^{\frac{1}{2}}\frac{t^3-1-t+1}{t^3-1}dt=\int_{\frac{\sqrt3}{2}}^{\frac{1}{2}}\frac{1-t}{t^3-1}+1dt$

da qui ho provato sia semplificare numeratore con denominatore sia ad applicare il metodo dei fratti semplici per gli integrali di funzioni razionali ma senza alcun risultato
help

[dan952]

$-\int \frac{(1-t^2)t}{t^3-1}=\int \frac{-(1-t)(1+t)t}{(t-1)(t^2+t+1)}=\int \frac{t^2+t}{t^2+t+1}$
In questo ultimo passaggio ho semplificato eliminato il fattore $t-1$.
Proseguiamo in modo simile al tuo sommando e sottraendo 1
$\int (1-\frac{1}{t^2+t+1})dt$
Puoi svolgere $\int \frac{1}{t^2+t+1}dt$ operando la sostituzione $u=\frac{2t+1}{\sqrt(3)}$

[FM931]

Grazie per la risposta
Come ottieni quel valore ?
E soprattutto da quel valore dovrei trovarmi la t e poi sostituirla nell'integrale?
Purtroppo non ho mai svolto esercizi del genere...

[dan952]

A quale valore ti riferisci? A $u=\frac{2t+1}{√3}$? Quella è semplicemente una sostituzione per ricondurci ad un integrale notevole [nota]$\int \frac{1}{1+u^2}du=\arctan u+c$[/nota] (ci vuole un pò d'occhio per vederlo).
Allora mi spiego meglio...
Omettero gli estremi di integrazioni per semplificarmi le cose, ma ricorda che devi (metterli ovv. e) cambiarli ad ogni sostituzione.
Eravamo arrivati
$\int (1-\frac{1}{t^2+t+1})dt$ per linearità $\int 1 dt -\int \frac{1}{t^2+t+1}dt=t-\int\frac{4}{3}\frac{1}{(\frac{2t+1}{√3})^2+1}dt=t-\int\frac{2}{√3}\frac{1}{(\frac{2t+1}{√3})^2+1}d(\frac{2t+1}{√3})=t-\frac{2}{√3}\int \frac{1}{u^2+1}du$

[FM931]

Ok grazie mille