Integrale definito con parametro
Buonasera, avrei un dubbio concettuale sul seguente esercizio:
Sia data :
$f(x)={(3+(alpha/(x-1)),se 0<=x<1),(x/(x^2-2)^(1/3),se 1
Ora io mi chiedo se sia sufficiente calcolare il limite di $fx)$ con $x->1$ e vedere per quali valori combaciano i due limiti $x->1^-,x->1^+$.
E poichè è continua in tutti gli altri intervalli ne deduco che quell'inegrale esiste se appunto rispetta la condizione dei limiti dx e sx.
Sia data :
$f(x)={(3+(alpha/(x-1)),se 0<=x<1),(x/(x^2-2)^(1/3),se 1
Ora io mi chiedo se sia sufficiente calcolare il limite di $fx)$ con $x->1$ e vedere per quali valori combaciano i due limiti $x->1^-,x->1^+$.
E poichè è continua in tutti gli altri intervalli ne deduco che quell'inegrale esiste se appunto rispetta la condizione dei limiti dx e sx.
Risposte
la domanda credo sia quando esiste finito. si tratta di un integrale improprio. l'unico intervallo che crea problemi è $(0,1)$ e quindi dobbiamo studiare la convergenza di
$int_(0)^(1)(3+alpha / (x-1))dx$ che non converge mai a meno che $alpha =0$ così da mandar via quel fastidioso x-1
$int_(0)^(1)(3+alpha / (x-1))dx$ che non converge mai a meno che $alpha =0$ così da mandar via quel fastidioso x-1
o è compreso.
Comunque non specifica finito, ma sarà così.
Perchè solo quell'intervallo e non proprio il punto $x=1$? Non è lì l'unico punto per cui la funzione è discontinua quindi non devo vedere, tipo le funzioni integrali, il comportamento sia a sx sia a dx di quel punto per stabilire se converge?
Comunque non specifica finito, ma sarà così.
Perchè solo quell'intervallo e non proprio il punto $x=1$? Non è lì l'unico punto per cui la funzione è discontinua quindi non devo vedere, tipo le funzioni integrali, il comportamento sia a sx sia a dx di quel punto per stabilire se converge?
"vivi96":
o è compreso.
non capisco cosa vuoi dire
"vivi96":
tipo le funzioni integrali
quella però non è una funzione integrale, è un numero
"vivi96":
Perchè solo quell'intervallo e non proprio il punto x=1?
hai già studiato gli integrali impropri (anche detti integrali di Riemann generalizzati)?
Tu hai scritto $(0,1)$ invece dovrebbe essere $[0,1)$, poi magari non cambia per la risoluzione dell'esercizio.
Comunque non dovrebbe essere tipo :
$\int_0^4f(x)dx= \int_0^1f(x)dx +\int_1^sqrt(2)f(x)dx+ \int_sqrt(2)^4f(x)dx$
Ma $0,4, sqrt(2)$ sono compresi nel dominio di f(x), per vedere se è integrabile ho ancora il dubbio in $x_0=1$ perchè non so se diverge o meno.. ho detto una fesseria?
Comunque non dovrebbe essere tipo :
$\int_0^4f(x)dx= \int_0^1f(x)dx +\int_1^sqrt(2)f(x)dx+ \int_sqrt(2)^4f(x)dx$
Ma $0,4, sqrt(2)$ sono compresi nel dominio di f(x), per vedere se è integrabile ho ancora il dubbio in $x_0=1$ perchè non so se diverge o meno.. ho detto una fesseria?
"vivi96":
Tu hai scritto (0,1) invece dovrebbe essere [0,1), poi magari non cambia per la risoluzione dell'esercizio.
si ad essere precisi si ma era giusto per farti capire dove lavoravamo
non prendo in considerazione gli altri due pezzi perchè lì dentro l'integrale non è un integrale improprio: l'unico punto che disturba sarebbe $sqrt2$ che però è messo a zero. in tutti gli altri punti $x/(root3(x^2-2))$ è sempre definito come integrale di Riemann. resta appunto da valutare
$int_(0)^(1)(3+alpha/(x-1))dx$ che ha problemi in 1. spezziamo l'integrale e notiamo che l'integrale di 3 esiste sempre finito dunque dobbiamo vedere quando l'altro pezzo esiste finito.
in un intorno di 1 $f(x)~~alpha/(x-1)$ che per confronto asintotico diverge perchè di esponente unitario. dunque l'unico modo perchè quell'integrale sia finito è che quel pezzo (e cioè $int_[0,1)alpha/(x-1)dx$) non ci sia: come fare? poniamo $alpha =0$
Ah ok perfetto! Ho capito, grazie =)
ci avevo pensato anche perchè si studiano degli intorni del punto però vedendo che convergeva e che si ridefiniva nel punto pensavo di poter saltare, evidentemente no! 
ma che disturbo, almeno mi levo anche io questi dubbi
"arnett":
Scusate se disturbo sempre
ma che disturbo, almeno mi levo anche io questi dubbi
Quindi devo studiare il limite anche per $sqrt(2)$?
devi fare il ragionamento che ho fatto in [0,1) nell'intervallo $(1,4]$ alla funzione $x/(root3(x^2-2))$
dove ha problemi? a cosa è asintotica? quindi cosa concludiamo e perchè? prova a rispondere a queste domande
dove ha problemi? a cosa è asintotica? quindi cosa concludiamo e perchè? prova a rispondere a queste domande
Ha problemi in $sqrt(2)$ quindi devo vedere se in quel punto diverge o converge. Quando faccio li limite mi viene infinito di ordine, ( non ne sono pienamente certa) $2/3$ che è $<1$ quindi converge ed allora non ho problemi perchè l'integrale può essere calcolato in tutto l'intervallo $(1,4]$ perchè l'area sottesa è calcolabile?
ah ok, ho sempre problemi a stabilire l'ordine di infinitesimo, grazie mille!:)
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