Integrale definito con i residui
Salve!
Devo calcolare questo integrale definito
$int_-infty^infty((3z^2-1)/((9z^2+1)(1+z^2)))$
che si calcola usando il metodo dei residui.
Troviamo gli zeri del denominatore -> $z_0 = +-j; z_1 +-j/3$
Nel calcolo degli integrali siamo interessati solo agli zeri con $Im(z)>0$, quindi dovrò fare la somma dei residui in $j,j/3$
$int_-infty^infty((3z^2-1)/((9z^2+1)(1+z^2)))=2*PI*j Re_f(j)+Re_f(j/3)$
Sono poli di primo ordine (infatti $3z^2-1 = 0 -> 3z^2=-1 z=+-j/sqrt(3)$), non ci sono 0 apparenti.
Quindi posso usare la formula secondo la quale $R_f(z_0) =( A(z_0))/(B'(z_0))$
Derivo il denominatore -> $((9z^2+1)(1+z^2))=9z^2+9z^4+1+z^2$ -> derivazione $36z^3+10$
$(3z^2-1)/(36z^3+10)$ nel punto z=j -> $(-3-1)/(-36j+10)$
Il testo invece spara come risultato $j/4$ e non capisco perchè!
Dove è l'errore?
Devo calcolare questo integrale definito
$int_-infty^infty((3z^2-1)/((9z^2+1)(1+z^2)))$
che si calcola usando il metodo dei residui.
Troviamo gli zeri del denominatore -> $z_0 = +-j; z_1 +-j/3$
Nel calcolo degli integrali siamo interessati solo agli zeri con $Im(z)>0$, quindi dovrò fare la somma dei residui in $j,j/3$
$int_-infty^infty((3z^2-1)/((9z^2+1)(1+z^2)))=2*PI*j Re_f(j)+Re_f(j/3)$
Sono poli di primo ordine (infatti $3z^2-1 = 0 -> 3z^2=-1 z=+-j/sqrt(3)$), non ci sono 0 apparenti.
Quindi posso usare la formula secondo la quale $R_f(z_0) =( A(z_0))/(B'(z_0))$
Derivo il denominatore -> $((9z^2+1)(1+z^2))=9z^2+9z^4+1+z^2$ -> derivazione $36z^3+10$
$(3z^2-1)/(36z^3+10)$ nel punto z=j -> $(-3-1)/(-36j+10)$
Il testo invece spara come risultato $j/4$ e non capisco perchè!
Dove è l'errore?
Risposte
Il risultato giusto è \(-\jmath/4\).
Infatti:
\[
\begin{split}
\text{Res}(f;\jmath) &= \lim_{z\to \jmath} (z-\jmath) f(z) \\
&=\lim_{z\to \jmath} \frac{3z^2-1}{(9z^2+1)(z+\jmath)}\\
&= \frac{-3-1}{(1-9)\ 2\jmath}\\
&= \frac{1}{4\jmath} =-\frac{\jmath}{4} \; .
\end{split}
\]
Quindi non vedo perché, nel caso di poli del primo ordine, tu senta il bisogno di complicarti la vita calcolando delle derivate, mentre basterebbe risolvere un limite semplice semplice.
Infatti:
\[
\begin{split}
\text{Res}(f;\jmath) &= \lim_{z\to \jmath} (z-\jmath) f(z) \\
&=\lim_{z\to \jmath} \frac{3z^2-1}{(9z^2+1)(z+\jmath)}\\
&= \frac{-3-1}{(1-9)\ 2\jmath}\\
&= \frac{1}{4\jmath} =-\frac{\jmath}{4} \; .
\end{split}
\]
Quindi non vedo perché, nel caso di poli del primo ordine, tu senta il bisogno di complicarti la vita calcolando delle derivate, mentre basterebbe risolvere un limite semplice semplice.
Ciao,
ho calcolato la derivata poichè, seguendo il ragionamento del testo, questo limite esiste sempre ed è proprio uguale a $f(x)/(g'(x))$
Ad ogni modo non riesco a seguire il tuo calcolo:
$(z-j)*f(z) = (3z^3+z-3jz^3-j)/(....)$
ho calcolato la derivata poichè, seguendo il ragionamento del testo, questo limite esiste sempre ed è proprio uguale a $f(x)/(g'(x))$
Ad ogni modo non riesco a seguire il tuo calcolo:
$(z-j)*f(z) = (3z^3+z-3jz^3-j)/(....)$
"Vincent":
Derivo il denominatore -> $((9z^2+1)(1+z^2))=9z^2+9z^4+1+z^2$ -> derivazione $36z^3+10$
L'errore è qua: la derivata del denominatore è $36z^3+20z$.
"Vincent":
ho calcolato la derivata poichè, seguendo il ragionamento del testo, questo limite esiste sempre ed è proprio uguale a $f(x)/(g'(x))$
E se il testo ti dicesse di buttarti giù...
"Vincent":
Ad ogni modo non riesco a seguire il tuo calcolo:
$(z-j)*f(z) = (3z^3+z-3jz^3-j)/(....)$
Algebra elementare: sai che \(z^2+1=(z-\jmath)(z+\jmath)\), quindi...
"gugo82":
[quote="Vincent"]ho calcolato la derivata poichè, seguendo il ragionamento del testo, questo limite esiste sempre ed è proprio uguale a $f(x)/(g'(x))$
E se il testo ti dicesse di buttarti giù...
[/quote]
Non capisco il senso di questa battuta. Credo che anche tu, ai tuoi tempi, avrai seguito quello che ti diceva il testo.
Comunque ho risolto, grazie a tutti.
"Vincent":
[quote="gugo82"][quote="Vincent"]ho calcolato la derivata poichè, seguendo il ragionamento del testo, questo limite esiste sempre ed è proprio uguale a $f(x)/(g'(x))$
E se il testo ti dicesse di buttarti giù...
[/quote]
Non capisco il senso di questa battuta. Credo che anche tu, ai tuoi tempi, avrai seguito quello che ti diceva il testo.[/quote]
Certo che li seguivo, ma facendo sempre di testa mia.
E poi (detto tra noi) in nessun testo di Analisi Complessa che mi sia capitato tra le mani ho visto usare questa "regoletta" (o, se pure se c'era, probabilmente l'avevo rubricata come poco utile e me n'ero dimenticato)...
La prima volta che l'ho vista usare correntemente è stato mentre correggevo gli esercizi ad alcuni ingeneri, i quali sembravano apprezzarla molto ed infatti la applicavano con la stessa frequenza con cui i ragazzini del liceo usano il teorema di de l'Hôpital, cioè anche quando è del tutto inutile (perché complica le cose).
In seguito, ho letto che tale "regoletta" viene riportata su alcuni testi (invero bruttini) di Metodi Matematici ed è per questo che gli studenti le danno tanto credito, considerandola come fosse la panacea per risolvere tutti i loro problemi di calcolo.
Buon giorno a tutti .
La funzione integrata è la funzione razionale $ f : x -> \ frac{3 x^2-1}{(9x^2+1)(x^2+1)} $
definita sull'insieme $RR$ e $lim_{x->\pm\infty} x*f(x) = 0 $ .
Abbiamo dunque $\int_{-infty}^{+infty} f(x) dx = \sum(Res(f,z_i))$ con $ Im(z_i)>0$ .
Per l'esempio proposto , $\int_{-infty}^{+infty} f(x) dx = \Res(f,j)+Res(f,\frac{j}{3}) = \frac{-j}{4}+\frac{j}{4} $
e quindi , $\int_{-infty}^{+infty} f(x) dx = 0 $.
Vorrei trovare condizioni caratteristiche per avere $\int_{-infty}^{+infty} f(x) dx = 0 $ se $f$ è una funzione razionale
definita su $RR$ . Non so se questo è possibile ! Avete idee ?
La funzione integrata è la funzione razionale $ f : x -> \ frac{3 x^2-1}{(9x^2+1)(x^2+1)} $
definita sull'insieme $RR$ e $lim_{x->\pm\infty} x*f(x) = 0 $ .
Abbiamo dunque $\int_{-infty}^{+infty} f(x) dx = \sum(Res(f,z_i))$ con $ Im(z_i)>0$ .
Per l'esempio proposto , $\int_{-infty}^{+infty} f(x) dx = \Res(f,j)+Res(f,\frac{j}{3}) = \frac{-j}{4}+\frac{j}{4} $
e quindi , $\int_{-infty}^{+infty} f(x) dx = 0 $.
Vorrei trovare condizioni caratteristiche per avere $\int_{-infty}^{+infty} f(x) dx = 0 $ se $f$ è una funzione razionale
definita su $RR$ . Non so se questo è possibile ! Avete idee ?
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