Integrale definito con funzione uguale agli estremi

[maxam1]

Ciao a tutti.
Sto cercando se esista un Teorema degli integrali definiti dove la funzione sia uguale agli estremi di integrazione, ovvero applicabile nel caso in cui
$$
\left\{
\begin{array}
\displaystyle\int_a^b f(x) \; \mathrm{d}x = p
\\
f(a)=f(b)
\end{array}
\right.
$$
Dove $$
\mathrm{Dom}(f)=\Omega\subseteq\mathbb{R}
\\
b>a
\\
a,b\in \mathring{\Omega}
$$
Ho un vago ricordo dell'esistenza di questo Teorema ma non riesco a trovarlo e non so se "me lo sono solo sognato"


Nel mio caso particolare, $f(x)$ è una funzione continua e derivabile tale per cui
$$
f(x) >0 \;,\; \forall x \in \mathring{\Omega}
\\
\exists^* \omega\in\mathring{\Omega} : f'(\omega)=0
$$

Grazie a tutti!

[Lebesgue]

Ciao! Non ho capito cosa dovrebbe asserire questo teorema che citi...

Comunque se prendi la funzione $f(x)=\sin^2x +2$, sul dominio $[0,2\pi]$, hai che in questo intervallo
- la funzione è strettamente positiva
- $f'(x)=2\sin x \cos x =\sin(2x)$, dunque esiste almeno un punto $x_0$ interno all'intervallo in cui $f'(x_0)=0$
- $f(0)=f(2\pi)=2$
-$\int_0^(2\pi) \sin^2x +2 dx = 5\pi $

E tutti i passaggi funzionano per i teoremi classici del calcolo integrale, non c'è nulla di più da aggiungere

[maxam1]

"Lebesgue":Ciao! Non ho capito cosa dovrebbe asserire questo teorema che citi...

Ciao!

Grazie. Eh... il problema è proprio che non ricordo cosa affermi. Mi sembra di ricordare che abbia a che fare con una semplificazione dell'integrale se $f(a)=f(b)$ ma inizio a pensare di essermelo davvero sognato...

[gabriella127]

@ maxam Ma non è che per caso ti riferisci al teorema della media integrale?
Così, per provare a far riemergere dall'inconscio il teorema...
(che non c'entra con $f(a)=f(b)$, però poiché fa in pratica diventare il calcolo dell'integrale il calcolo dell'area di un rettangolo potrebbe associarsi all'idea).

https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_d ... _integrale

[maxam1]

"gabriella127":@ maxam Ma non è che per caso ti riferisci al teorema della media integrale?

Dopo essermi scervellato per giorni (e aver chiesto aiuto qui) mi sa che mi sto confondendo con una proprietà (non credo sia un Teorema) che riguarda gli integrali di funzioni simmetriche...

Ad esempio $f(x)=-x^2+2x+6$ è simmetrica rispetto alla retta $x=1$ quindi se si integra in un intervallo dove $f(a)=f(b)$, come $(0,2)$, allora

$$
\int_0^2 f(x) \mathrm{d}x = 2 \int_0^1 f(x) \mathrm{d}x = 2\int_1^2 f(x) \mathrm{d}x
$$

ma è qualcosa di piuttosto banale, nulla di eclatante, e vale solo per funzioni simmetriche rispetto a rette $x=c$, mentre le funzioni che dovrei trattare io non sono simmetriche, come la densità di probabilità Gamma

$$
f(x;\alpha,\beta) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1}e^{-\beta x}
$$