Integrale definito con e !

[LucaC1]

buongiorno :
$\int_0^(log3) [( \e\^x) / ( \e\^(2x)-2\e\^x)] dx$

pongo $\e\^x=t $ ,$ dx=1/(\e\^x) dt$

$\int_0^(log3) [( \e\^x) / ( t^2-2t)] (1/\e\^x)dt$

semplifico la e^x

$\int_0^(log3) [1 / ( t^2-2t)] dt = log ( t^2-2t)= log (e^(2x)-2\e\^x)$

ho proceduto cosi ma nn credo sia corretto ,
ho provata a mettere in evidenzia la e^x al denominatore ma nn so se è giusto quello che ho fatto :

$ ( \e\^x) / [( \e\^x)(\e\^x-2)]$ si fa cosi??

GRAZIE !

[gugo82]

Sbali ad applicare il teorema di sostituzione all'integrale definito (non cambi gli estremi d'integrazione), sbagli a calcolare l'integrale di una funzione razionale (perché non applichi i fratti semplici) e sbagli a calcolare l'integrale definito finale (anzi, non lo calcoli proprio...).

[LucaC1]

$\int_0^(log3) [( \e\^x) / ( \e\^(2x)-2\e\^x)] dx$

pongo $\e\^x=t $ .$ x=logt$ ,$ dx=1/t dt$

$x=log3=\e\^log3=3$
$x=0=\e\^0=1$

$\int_1^3 [t / ( t^(2)-2t)](1/t)dt$

$\int_1^3 [1 / ( t^(2)-2t)] dt$

$ [1 / ( t^(2)-2t)]=1/(t(t-2)) $

$ (A/t)+(B/(t-2))=( At-2A+Bt)/t(t-2)$

$\{(A+B =0),(-2A = 1):}$

$\{B =1/2,A = -(1/2):}$

$\int (-1/2)/t dt +\int (1/2)/(t-2)$

$\int (-1/2)/t dt= -1/2\int1/t dt = -1/2log t$

$\int (1/2)/(t-2) dt= 1/2\int1/(t-2) dt = 1/2log t-2$

$\int (-1/2)/t dt +\int (1/2)/(t-2)=-1/2logt +1/2log(t-2) $

ora , sempre se quello che ho fatto è corretto , devo cambiare la t con e^x e calcolare il valore dell'integrale definito con gli estremi iniziali , o lo devo calcolare con questo risulatato che ho ottenuto e con gli estremi cambiati ?
Grazie Gugo82 !

[Obidream]

"LucaC":$\int_0^(log3) [( \e\^x) / ( \e\^(2x)-2\e\^x)] dx$

pongo $\e\^x=t $ ,$ dx=1/(\e\^x) dt$

Se $e^x=t$ non dovresti ricavare x in funzione di e quindi $x=log(t)$ da cui $dx=1/t dt$?

[LucaC1]

e gli estremi come diventano?

[Obidream]

Non ti può trovare le primitive di $\int e^x/(e^(2x)-2e^x)dx$ e poi calcolare l'integrale definito?

[LucaC1]

le primitive le ho calcolate con la regola dei fratti semplici , adesso voglio capire se , una volta trovate le primitive devo sostituire la t con e^x e calcolare l'integr definito con quali estremii??

[Obidream]

"LucaC":le primitive le ho calcolate con la regola dei fratti semplici , adesso voglio capire se , una volta trovate le primitive devo sostituire la t con e^x e calcolare l'integr definito con quali estremii??

Mi sono spiegato male
Noi abbiamo da calcolare $\int_(0)^log(3) e^x/(e^(2x)-2e^x)dx$

Per ora mi disinteresso dell'integrale definito e mi calcolo:

$\int e^x/(e^(2x)-2e^x)dx$

Pongo $e^x=t$ da cui ricavo che $x=log(t)$ quindi $dx=(1/t)dt$

$\int t/(t^2-2t)*(1/t)dt$

$\int 1/(t(t-2))dt$

Riscrivo $1/(t(t-2))$ come $A/t+B/(t-2)$

$1/(t-(t-2))=A/t+B/(t-2)$

$1=A(t-2)+B(t)$

$1=(A+B)t -2A$

$\{(A+B=0),(-2A=1):}$

Risolvendo il sistema si ricava che $A=-1/2$ e $B=1/2$

Quindi:

$-\int (1/2)/t dt +\int (1/2)/(t-2)$

$(log(-2 +t) - log(t))/2 +c$ con $c in RR$

Ma $t=e^x$, quindi:

$(log(-2 + e^x) - log(e^x))/2+c$

Quindi ora calcoliamo $F(b)-F(a)$ dove $b=log(3)$ ed $a=0$ ovvero i nostri estremi di integrazione

[LucaC1]

$ F(b) =log(\e\^(log3)-2)-log \e\^(log3)= -log3$
$F(a)=log(\e\^0-2)-log\e\^0=0 $
$F(b)-F(a)=-log3 $
ho capito grazie Obi !
ma mi chiedo perchè gugo mi aveva detto che avevo sbagliato perchè non avevo cambiato gli estremi di integrazione ?
gli estremi si cambiamo o no ?

[Obidream]

Se fai il cambio di variabile si cambiano se riporti alla variabile iniziale no

[LucaC1]

[LucaC1]

ma $-log3=log(1/3)$ giusto?

[Obidream]

"LucaC":ma $-log3=log(1/3)$ giusto?

Yep