Integrale definito CON arcotangente
Salve a tutti,
come da oggetto, il mio problema è la risoluzione del seguente integrale definito:
$int_(-1)^(1) (-4x)(arctan(x)) dx $
ho provato sia per sostituzione che per parti, ma arrivo sempre ad un punto in cui ritorno alla situazione di partenza, cioè mi ritrovo a dover integrare sempre la stessa funzione.
Potete darmi un consiglio su come procedere?
Grazie
come da oggetto, il mio problema è la risoluzione del seguente integrale definito:
$int_(-1)^(1) (-4x)(arctan(x)) dx $
ho provato sia per sostituzione che per parti, ma arrivo sempre ad un punto in cui ritorno alla situazione di partenza, cioè mi ritrovo a dover integrare sempre la stessa funzione.
Potete darmi un consiglio su come procedere?
Grazie
Risposte
per parti deve venire, prova a postare i passaggi
EDIT: ho corretto gli estremi dell'integrale, scusate; fatto sta che il risultato è sempre lo stesso
$ -4([(x^2)/2 arctan(x)]_-1 ^1 -int_(-1)^(1) (x^2)/2 1/(1+x^2)) = -4(pi/8 + pi/8 - 1/2(([arctan(x) x^2]_-1 ^1) - int_(-1)^(1) arctan(x) 2x )) $
$ -4([(x^2)/2 arctan(x)]_-1 ^1 -int_(-1)^(1) (x^2)/2 1/(1+x^2)) = -4(pi/8 + pi/8 - 1/2(([arctan(x) x^2]_-1 ^1) - int_(-1)^(1) arctan(x) 2x )) $
"enr87":
per parti deve venire, prova a postare i passaggi
infatti...
ma se ho capito bene i passaggi hai integrato due volte per parti scambiando il fattore finito e il fattore differenziale??
"francescop21":
ma se ho capito bene i passaggi hai integrato due volte per parti scambiando il fattore finito e il fattore differenziale??
1) ho integrato la funzione $int_(-1)^(1) (-4x)(arctan(x)) dx $
2) ho ottenuto $ -4([(x^2)/2 arctan(x)]_-1 ^1 -int_(-1)^(1) (x^2)/2 1/(1+x^2))$ che diventa $-4(pi/8 + pi/8 - 1/2(([arctan(x) x^2]_-1 ^1) - int_(-1)^(1) arctan(x) 2x ))$
3) giunto a questo punto mi ritrovo nella situazione di partenza, cioè a dover integrare arcotangente moltiplicata per x
certo che non ti viene, hai fatto:
$\int f*G = F*G -\int F*g = F*G -(F*G -\int f*G)= F*G -F*G+\int f*G=\int f*G$ sei tornato indietro!!
non puoi integrare per parti 2 volte consecutive scambiando il fattore finito e il fattore differenziale
$\int f*G = F*G -\int F*g = F*G -(F*G -\int f*G)= F*G -F*G+\int f*G=\int f*G$ sei tornato indietro!!
non puoi integrare per parti 2 volte consecutive scambiando il fattore finito e il fattore differenziale
ok ho sbagliato ad integrare....
ma usando l'integrazione per parti nella forma: $ int f(x) g'(x) = f(x) g(x) - int f'(x) g(x) dx $
allora l'integrale $int_(-1)^(1) (-4x)(arctan(x)) dx$ diventa $ [arctan(x) x^2/2]_-1 ^1 - int_(-1)^(1) (1/(1+x^2))x^2/2 dx $
a questo punto mi blocco nell'ultimo integrale come lo risolvo?
ma usando l'integrazione per parti nella forma: $ int f(x) g'(x) = f(x) g(x) - int f'(x) g(x) dx $
allora l'integrale $int_(-1)^(1) (-4x)(arctan(x)) dx$ diventa $ [arctan(x) x^2/2]_-1 ^1 - int_(-1)^(1) (1/(1+x^2))x^2/2 dx $
a questo punto mi blocco nell'ultimo integrale come lo risolvo?
notando che $x^2 = x^2 + 1 - 1$..
"enr87":
notando che $x^2 = x^2 + 1 - 1$..
bhe, allora potrei fare $ int_(-1)^(1) 1/(1+x^2) (1+x^2 -1)/2 dx $
che diventa $ int_(-1)^(1) 1/(1+x^2) ((1+x^2)/2 -1/2) dx $
che diventa $ int_(-1)^(1) 1/2 -1/2 (1/(1+x^2)) dx $
e mi permette di calcolare il risultato
grazie
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