Integrale definito che ridiventa se stesso.

[fabio731]

Buon giorno a tutti. Questo è il mio primo post, spero di fare meno errori possibili.
Il problema che mi assilla attualmente è il seguente: un integrale definito se utilizzo la tecnica di integrazione per parti ridiventa ancora se stesso. Nonostante sostituisca il fattor differenziale con il fattor finito.
L'integrale è il seguente:

\[ \int_{-1}^2\ x*e^{-2x}\ \text{d} x \]

Bene (spero), integrando per parti definendo come fattor differenziale prima \(x\) e poi \(e^{-2x}\) il risultato non cambia; alla fine mi ritrovo ancora lo stesso identico integrale.

Vi chiedo gentilmente come potrei integrarlo in modo "alternativo".

Vi ringrazio, buona giornata, Fabio.

[Noisemaker]

non mi sembra che diventi sempre se stesso ...
\begin{align}
\int_{-1}^{2}x\cdot e^{2x}\,\,dx&=\int_{-1}^{2}x \,\,d\left(-\frac{1}{2}e^{-2x}\right) =-\frac{1}{2}\int_{-1}^{2}x \,\,d\left(e^{-2x}\right)\stackrel{\bf(P)}{=}-\frac{1}{2}\left[xe^{-2x}\right]_{-1}^{2}+\frac{1}{2}\int_{-1}^{2} e^{-2x} \,\,dx\\
&=-\frac{1}{2}\left[xe^{-2x}\right]_{-1}^{2}-\frac{1}{4}\int_{-1}^{2} -2e^{-2x} \,\,dx=-\frac{1}{2}\left[xe^{-2x}\right]_{-1}^{2}-\frac{1}{4}\left[\ e^{-2x} \right]_{-1}^{2}
\end{align}

[fabio731]

Grazie mille, Noismaker!!!
Giuro che a volte non riesco a vedere ciò che davanti agli occhi, nemmeno cambiando punto di vista...

Grazie, ciao, Fabio.