Integrale definito calcolato "a meno di.."
Ciao a tutti..
Ho problemi con questo esercizio:
$\int_0^(1/5)(sen^2(sqrt(x)))/(x sqrt(x))dx$ a meno di $10^(-2)$
L'esercizio in quesione è stato chiesto ad un orale, chiaramente di analisi I..la persona interrogata non l'ha saputo fare ed io ho sfogliato il quaderno degli appunti da cima a fondo e sono sicuro che a lezione esercizi uguali non ne sono stati fatti..quindi non so proprio come impostare il problema..
Sono 2 giorni che cerco un esercizio simile che possa darmi un qualche spunto e farmi capire cosa bisogna fare, ma non ho trovato niente.. il problema si riproporrebbe comunque anche per integrali banali, calcolabili per mezzo delle primitive diciamo..ad esempio:
$\int_0^(1)x dx$ a meno di $10^(-2)$
che fa banalmente 1/2..non avrei idea di cosa vorrebbe dire calcolarlo "a meno di..", nè di come procedere.
Grazie a chi vorrà darmi una mano..
Ho problemi con questo esercizio:
$\int_0^(1/5)(sen^2(sqrt(x)))/(x sqrt(x))dx$ a meno di $10^(-2)$
L'esercizio in quesione è stato chiesto ad un orale, chiaramente di analisi I..la persona interrogata non l'ha saputo fare ed io ho sfogliato il quaderno degli appunti da cima a fondo e sono sicuro che a lezione esercizi uguali non ne sono stati fatti..quindi non so proprio come impostare il problema..
Sono 2 giorni che cerco un esercizio simile che possa darmi un qualche spunto e farmi capire cosa bisogna fare, ma non ho trovato niente.. il problema si riproporrebbe comunque anche per integrali banali, calcolabili per mezzo delle primitive diciamo..ad esempio:
$\int_0^(1)x dx$ a meno di $10^(-2)$
che fa banalmente 1/2..non avrei idea di cosa vorrebbe dire calcolarlo "a meno di..", nè di come procedere.
Grazie a chi vorrà darmi una mano..
Risposte
Bella questa domanda. Rispondere con sicurezza richiede una certa padronanza della materia. Qui si è discusso qualcosa di simile:
http://math.stackexchange.com/q/24533/8157
In ogni caso anche io ti rimando al (bellissimo) libro Street Fighting Mathematics, §5.5: "Daunting trigonometric integral".
La tecnica illustrata nel libro usa gli sviluppi di Taylor ed è grosso modo la stessa usata da Micheal Lugo in questa risposta alla domanda citata prima.
http://math.stackexchange.com/q/24533/8157
In ogni caso anche io ti rimando al (bellissimo) libro Street Fighting Mathematics, §5.5: "Daunting trigonometric integral".
La tecnica illustrata nel libro usa gli sviluppi di Taylor ed è grosso modo la stessa usata da Micheal Lugo in questa risposta alla domanda citata prima.
Vabbè, dai... Non fasciamoci la testa.
Ovviamente la locuzione "a meno di [tex]$10^{-2}$[/tex]", vuol dire che si vuole approssimare il valore esatto dell'integrale, diciamolo [tex]$I$[/tex], con un numero [tex]$J$[/tex], calcolabile esattamente in maniera semplice, in modo che [tex]$|I-J|\leq \tfrac{1}{100}$[/tex].
Con una sostituzione:
[tex]$\int_0^{1/5} \frac{\sin^2 \sqrt{x}}{x\sqrt{x}}\ \text{d} x = 2 \int_0^{1/\sqrt{5}} \left( \frac{\sin y}{y}\right)^2 \text{d} y$[/tex];
visto che [tex]$0\leq y \ll 1$[/tex] si può usare l'approssimazione di Taylor; in particolare:
[tex]$(\tfrac{\sin y}{y})^2 \approx (1-\tfrac{1}{6} y^2+ \tfrac{1}{120} y^4)^2$[/tex]
[tex]$\approx 1-\tfrac{1}{3} y^2 +\tfrac{1}{60} y^4 +\tfrac{1}{36} y^4$[/tex]
[tex]$=1-\tfrac{1}{3} y^2 +\tfrac{2}{45} y^4$[/tex]
e quindi:
[tex]$\int_0^{1/5} \frac{\sin^2 \sqrt{x}}{x\sqrt{x}}\ \text{d} x \approx 2 \int_0^{1/\sqrt{5}} \left( 1-\tfrac{1}{3} y^2 +\tfrac{2}{45} y^4\right) \text{d} y$[/tex]
[tex]$=\frac{3668}{1875\sqrt{5}} \approx 0.874869$[/tex].
Mentre con un software numerico si trova:
[tex]$\int_0^{1/5} \frac{\sin^2 \sqrt{x}}{x\sqrt{x}}\ \text{d} x \approx 0.874866$[/tex].
Per giustificare il risultato basta usare con un po' di furbizia le stime del resto fornite dal teorema di Leibniz.
P.S.: Ah... Ovviamente l'integrale assegnato esiste finito, in quanto nell'unico punto singolare l'integrando è un infinito d'ordine [tex]$1/2<1$[/tex].
Ovviamente la locuzione "a meno di [tex]$10^{-2}$[/tex]", vuol dire che si vuole approssimare il valore esatto dell'integrale, diciamolo [tex]$I$[/tex], con un numero [tex]$J$[/tex], calcolabile esattamente in maniera semplice, in modo che [tex]$|I-J|\leq \tfrac{1}{100}$[/tex].
Con una sostituzione:
[tex]$\int_0^{1/5} \frac{\sin^2 \sqrt{x}}{x\sqrt{x}}\ \text{d} x = 2 \int_0^{1/\sqrt{5}} \left( \frac{\sin y}{y}\right)^2 \text{d} y$[/tex];
visto che [tex]$0\leq y \ll 1$[/tex] si può usare l'approssimazione di Taylor; in particolare:
[tex]$(\tfrac{\sin y}{y})^2 \approx (1-\tfrac{1}{6} y^2+ \tfrac{1}{120} y^4)^2$[/tex]
[tex]$\approx 1-\tfrac{1}{3} y^2 +\tfrac{1}{60} y^4 +\tfrac{1}{36} y^4$[/tex]
[tex]$=1-\tfrac{1}{3} y^2 +\tfrac{2}{45} y^4$[/tex]
e quindi:
[tex]$\int_0^{1/5} \frac{\sin^2 \sqrt{x}}{x\sqrt{x}}\ \text{d} x \approx 2 \int_0^{1/\sqrt{5}} \left( 1-\tfrac{1}{3} y^2 +\tfrac{2}{45} y^4\right) \text{d} y$[/tex]
[tex]$=\frac{3668}{1875\sqrt{5}} \approx 0.874869$[/tex].
Mentre con un software numerico si trova:
[tex]$\int_0^{1/5} \frac{\sin^2 \sqrt{x}}{x\sqrt{x}}\ \text{d} x \approx 0.874866$[/tex].
Per giustificare il risultato basta usare con un po' di furbizia le stime del resto fornite dal teorema di Leibniz.
P.S.: Ah... Ovviamente l'integrale assegnato esiste finito, in quanto nell'unico punto singolare l'integrando è un infinito d'ordine [tex]$1/2<1$[/tex].
"gugo82":
Vabbè, dai... Non fasciamoci la testa.
Ovviamente la locuzione "a meno di [tex]$10^{-2}$[/tex]", vuol dire che si vuole approssimare il valore esatto dell'integrale, diciamolo [tex]$I$[/tex], con un numero [tex]$J$[/tex], calcolabile esattamente in maniera semplice, in modo che [tex]$|I-J|\leq \tfrac{1}{100}$[/tex].
Con una sostituzione:
[tex]$\int_0^{1/5} \frac{\sin^2 \sqrt{x}}{x\sqrt{x}}\ \text{d} x = 2 \int_0^{1/\sqrt{5}} \left( \frac{\sin y}{y}\right)^2 \text{d} y$[/tex];
visto che [tex]$0\leq y \ll 1$[/tex] si può usare l'approssimazione di Taylor; in particolare:
[tex]$(\tfrac{\sin y}{y})^2 \approx (1-\tfrac{1}{6} y^2+ \tfrac{1}{120} y^4)^2$[/tex]
[tex]$\approx 1-\tfrac{1}{3} y^2 +\tfrac{1}{60} y^4 +\tfrac{1}{36} y^4$[/tex]
[tex]$=1-\tfrac{1}{3} y^2 +\tfrac{2}{45} y^4$[/tex]
e quindi:
[tex]$\int_0^{1/5} \frac{\sin^2 \sqrt{x}}{x\sqrt{x}}\ \text{d} x \approx 2 \int_0^{1/\sqrt{5}} \left( 1-\tfrac{1}{3} y^2 +\tfrac{2}{45} y^4\right) \text{d} y$[/tex]
[tex]$=\frac{3668}{1875\sqrt{5}} \approx 0.874869$[/tex].
Mentre con un software numerico si trova:
[tex]$\int_0^{1/5} \frac{\sin^2 \sqrt{x}}{x\sqrt{x}}\ \text{d} x \approx 0.874866$[/tex].
Per giustificare il risultato basta usare con un po' di furbizia le stime del resto fornite dal teorema di Leibniz.
P.S.: Ah... Ovviamente l'integrale assegnato esiste finito, in quanto nell'unico punto singolare l'integrando è un infinito d'ordine [tex]$1/2<1$[/tex].
Grazie mille a entrambi..!
Comunque era proprio questa la soluzione che volevo perchè ora mi ricordo che Van der Putten (il nostro leggendario prof XD) aveva suggerito di utilizzare lo sviluppo di Taylor per calcolarlo..
Perfetto, finalmente ci siamo..
Sei stato veramente provvidenziale guarda, grazie mille ancora!!!
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