Integrale definito (?)
Salve a tutti, recentemente ho trovato in opuscolo di un'università inglese un quesito riguardante la soluzione di un integrale definito che mi ha lasciato molto perplesso.
L'integrale in questione è il seguente:
\(\displaystyle \int_{0}^{{{\pi}/{2}}} \frac{\text {d} x} {1 + tan^α x} \)
Non ho idea di come si possa risolvere. So solo che, a quanto ne dicano loro questi sono quesiti da primo anno di università.
L'integrale in questione è il seguente:
\(\displaystyle \int_{0}^{{{\pi}/{2}}} \frac{\text {d} x} {1 + tan^α x} \)
Non ho idea di come si possa risolvere. So solo che, a quanto ne dicano loro questi sono quesiti da primo anno di università.
Risposte
Non è che vogliono il valore di $\alpha$ per la convergenza ?
Ma da quando sugli opuscoli delle università si trovano degli integrali ?
Ma da quando sugli opuscoli delle università si trovano degli integrali ?
No perchè assumono \(\displaystyle \alpha \ge 0\) e richiedono espressamente il valore dell'integrale.
L'università di Southampton mi ha mandato un opuscolo in cui descriveva i corso di laurea in Matematica e c'era una parte in cui venivano trattati dei quesiti campione del primo anno di università.
L'università di Southampton mi ha mandato un opuscolo in cui descriveva i corso di laurea in Matematica e c'era una parte in cui venivano trattati dei quesiti campione del primo anno di università.
Il caso $\alpha=0$ è banale...
Per $\alpha=1$ è facile calcolarsi le primitive della funzione per poi calcolare l'integrale definito:
poniamo $tg(x) = t$ da cui $x = arctg(t)$, $dx = dt/(1+t^2)$
$\int 1/(tg(x)+1) dx = \int 1/(1+t)*1/(1+t^2) dt$
$\int 1/2*1/(1+t)+1/2*(1-t)/(1+t^2) dt $
$1/2* \int 1/(1+t) dt + 1/2* \int 1/(1+t^2) dt -1/4* \int 2*t/(1+t^2) dt$
$1/2*log|1+t| +1/2*arctg(t) -1/4*log(1+t^2) + c$
$1/2*log|1+tg(x)| +1/2*x -1/4*log(1+tg(x)^2) + c$
Forse da questo caso si può ricavare una regola generale per risolvere l'esercizio al variare di $\alpha$ su $[0,+infty)$?
Poi io non ho manco passato Analisi ad Ingegneria, quindi non sono il massimo dell'attendibilità...
Per $\alpha=1$ è facile calcolarsi le primitive della funzione per poi calcolare l'integrale definito:
poniamo $tg(x) = t$ da cui $x = arctg(t)$, $dx = dt/(1+t^2)$
$\int 1/(tg(x)+1) dx = \int 1/(1+t)*1/(1+t^2) dt$
$\int 1/2*1/(1+t)+1/2*(1-t)/(1+t^2) dt $
$1/2* \int 1/(1+t) dt + 1/2* \int 1/(1+t^2) dt -1/4* \int 2*t/(1+t^2) dt$
$1/2*log|1+t| +1/2*arctg(t) -1/4*log(1+t^2) + c$
$1/2*log|1+tg(x)| +1/2*x -1/4*log(1+tg(x)^2) + c$
Forse da questo caso si può ricavare una regola generale per risolvere l'esercizio al variare di $\alpha$ su $[0,+infty)$?
Poi io non ho manco passato Analisi ad Ingegneria, quindi non sono il massimo dell'attendibilità...
Ecco. Avevo pensato a qualcosa del genere, però il problema rimane, ossia il parametro α. Tra l'altro poi visto l'estremo superiore si parla di un integrale improprio.
Mi era venuta in mente l'espansione della serie, ma non sono certo che possa risolvere il problema.
Mi era venuta in mente l'espansione della serie, ma non sono certo che possa risolvere il problema.
Il tratto di curva che rappresenta la funzione integranda [tex]f(x)[/tex] nell'intervallo [tex]]0, \pi/2[[/tex]è simmetrico rispetto al punto [tex]\left ( \frac{\pi }{4},\frac{1}{2} \right )[/tex] per qualsiasi [tex]\alpha[/tex] (si dimostra con le solite sostituzioni che si pongono in essere quando si vuol verificare una simmetria), quindi ragionando sulle aree: [tex]\int_{0}^{\pi /4}\left [ f(x)-\frac{1}{2} \right ] \mathrm{d}x=\int_{\pi /4}^{\pi /2}\left [ \frac{1}{2}-f(x)) \right ]\mathrm{d}x[/tex], da cui si ottiene in pochi passaggi: [tex]\int_{0}^{\pi/2}f(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2}\mathrm{d}x=\frac{\pi}{4}[/tex].
Non so se è giusto ma mi sembra comunque un bel problemaccio, mica scherzano...
Non so se è giusto ma mi sembra comunque un bel problemaccio, mica scherzano...
Grazie mille! Dal ragionamento che hai fatto mi sembra che non possa essere altro che esatto .
Domani lo proporrò alla mia prof.
Vediamo cosa mi risponde.
.Domani lo proporrò alla mia prof.
Vediamo cosa mi risponde.
prego, figurati, comunque vorrei delle conferme, ciao
Se ti interessa come dimostrare come la curva è simmetrica rispetto ad $A(\frac{\pi}{4},\frac{1}{2})$...
Le equazioni della simmetria assiale rispetto a un punto sono:
x'=2*xa-x
y'=2*ya-y
Quelle della trasf. inversa quindi
$x=\frac{\pi}{2}-x'$
$y=1-y'$
A te basta verificare che applicando la trasformazione, il sostegno della curva non cambia ( cioè se y=f(x) hai anche y'=f(x')).
$y=\frac{1}{1+tan^a x}$
$1-y'=\frac{1}{1+tan^a(\frac{\pi}{2}-x)'}=\frac{1}{1+cot^a x'}$
$y'=1-\frac{1}{1+\frac{1}{tan^a x'}}=1-\frac{tan^a x'}{tan^a x'+1}=\frac{1}{tan^a x' +1}$ che è il risultato cercato
Le equazioni della simmetria assiale rispetto a un punto sono:
x'=2*xa-x
y'=2*ya-y
Quelle della trasf. inversa quindi
$x=\frac{\pi}{2}-x'$
$y=1-y'$
A te basta verificare che applicando la trasformazione, il sostegno della curva non cambia ( cioè se y=f(x) hai anche y'=f(x')).
$y=\frac{1}{1+tan^a x}$
$1-y'=\frac{1}{1+tan^a(\frac{\pi}{2}-x)'}=\frac{1}{1+cot^a x'}$
$y'=1-\frac{1}{1+\frac{1}{tan^a x'}}=1-\frac{tan^a x'}{tan^a x'+1}=\frac{1}{tan^a x' +1}$ che è il risultato cercato
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