Integrale definito

[ipsiade]

Salve ragazzi!!

Sto studiando per il mio esame di analisi matematica, ma sto trovando qualche difficoltà nella risoluzione del seguente integrale:

$\int_0^oo4x^2 /(x^2+1)^2$ $dx$

Io pensavo di dividere per parti per cui scelgo:

$f(x)$$=$$1/(x^2+1)^2$ da cui $f'(x)$$=$$-4x/(x^2+1)^2$

$g'(x)$$=$$4x^2$ da cui $g(x)$$=$$(4/3)*x^3$

Allora esplicando la formula per parti ottengo la seguente:

$(4/3)*(x^3/(x^2+1)^2)$$+$$16/3$$\int_0^oox^4/(x^2+1)^2$$dx$

da cui la prima parte va a zero e mi rimane solo la seconda, nonchè:

$16/3$$\int_0^oox^4/(x^2+1)^2$$dx$

Bene..qui nascono i miei problemi perchè non riesco a risolvere questo integrale
Io ho provato a fare una divisione tra polinomi (in virtù del fatto che numeratore e denominatore hanno lo stesso grado), ottenendo, così, la seguente:

$16/3$$($$\int_0^oo1$$dx$ $-$ $\int_0^oo(2x^2+1)/(x^4+2x^2+1)$$dx$ $)$ da cui, poi:

$16/3$$($$|x|_0^oo$ - $\int_0^oo(2x^2+1)/(x^4+2x^2+1)$$dx$$)$

qualcuno mi può aiutare a continuarlo!? grazie mille

[Quinzio]

E' meglio separare in altro modo, pur usando il metodo per parti
$\int x (x)/((x^2+1)^2) dx= (-x)/(2(x^2+1))-\int 1/2 (-1)/(x^2+1)dx$

[ipsiade]

Sarà che sono fusa ma..non ho capito come hai separato la $f(x)$ dalla $g'(x)$ ..

[Quinzio]

Se
$\int f'g\ dx = fg-\int fg'dx$
ho messo
$g(x)=x$
$f'(x)=(x)/((x^2+1)^2)$

[ipsiade]

Ecco..si..ci avevo provato anche io ma il mio problema è risolvere gli integrali di questo tipo:

$\int_0^oox/(x^2+1)^2$

quindi integrali dove al denominatore compare il quadrato di un binomio che ha potenza 2!!
Non so come risolverli con il metodo delle razionali fratte..

[Quinzio]

Non c'è da scomporre in frazioni, basta vedere che
$(d(1/(f(x))))/(dx) = -(f'(x))/(f^2(x))$