Integrale definito

[el principe]

Salve a tutti... Sto eseguendo questo esercizio ma ho dei problemi: $\int_0^{pi/2} (senx)/(cos^3x * e^(tg(x))) dx$
Allora ho posto $t=tg(x)$ quindi $x=arctg(x)$ e $dx= 1/(1+x^2) dt$ ma senx e cosx che diventano???

[AngePoliMi]

Sbagli nel determinare l'inversa della funzione che vai a sostituire, $x = arctan(t)$, comunque ti consiglio di differenziare $dt = ...$ e non il contrario.

[el principe]

si scusa mi son confuso è arctg(t)...come si differenzia dt?

[AngePoliMi]

Così come hai fatto per $dx$, tu hai scritto:

$dx = 1/(1 + t^2) dt$

Cioè hai derivato $arctan(t)$, se hai $t = tan(x) ⇒ dt = ...$

[el principe]

$dt=1/(cos^2(x)) dx$ ok però non sto capendo a cosa serve derivare dt io fino ad ora ho derivato sempre dx

[emaz92]

"el principe":Salve a tutti... Sto eseguendo questo esercizio ma ho dei problemi: $\int_0^{pi/2} (senx)/(cos^3x * e^(tg(x))) dx$
Allora ho posto $t=tg(x)$ quindi $x=arctg(x)$ e $dx= 1/(1+x^2) dt$ ma senx e cosx che diventano???

io farei così: $\int_0^{pi/2} (senx)/(cos^3x * e^(tg(x))) dx=int_0^{pi/2} (senx)/(cosx * e^(tg(x)))dtgx=int_0^{pi/2} (tgx)/(e^(tg(x)))dtgx=int_0^{pi/2} (t)/(e^(t))dt$.....

[AngePoliMi]

Va bene il procedimento di emaz92, ora ci arrivi anche tu a quell'integrale, ora sostituisci, semplifica e vedi che succede..

[el principe]

$int_0^{pi/2} (t)/(e^(t))dt$ e quindi $-e^-t(t+1)$ e quindi 1...grazie mille per il vostro aiuto

[gugo82]

Si poteva anche fare per parti:

[tex]$\int \frac{\sin x}{\cos^3 x\ e^{\tan x}}\ \text{d} x=-\int \tan x\ \text{d} \big[ -e^{\tan x}\big] =-\tan x\ e^{-\tan x} +\int e^{-\tan x}\frac{1}{\cos^2 x}\ \text{d} x = -(\tan x+1) e^{-\tan x}$[/tex].