Integrale Definito
salve, volevo chiedervi di aiutarmi in quest'esercizio:
dire se esiste finito il seguente integrale:
$ int_(0)^(1) (x^(a))dx/ sqrt(x^(2) +2x +5 $
al variare di a. calcolarlo nel caso in cui a=1
Per iniziare ho calcolato il dominio il quale mi viene tutto l'insieme reale. Dunque l'integrale dovrebbe essere un integrale di Riemann e non un integrale generalizzato (giusto?). adesso procedo a calcolarlo ma non so come procedere; ho visto che quando c'è la radice si procede per sostituzione, cioè sostituendo delle funzioni goniometriche, ma purtroppo non riesco a capire come integrare.
grazie in anticipo
dire se esiste finito il seguente integrale:
$ int_(0)^(1) (x^(a))dx/ sqrt(x^(2) +2x +5 $
al variare di a. calcolarlo nel caso in cui a=1
Per iniziare ho calcolato il dominio il quale mi viene tutto l'insieme reale. Dunque l'integrale dovrebbe essere un integrale di Riemann e non un integrale generalizzato (giusto?). adesso procedo a calcolarlo ma non so come procedere; ho visto che quando c'è la radice si procede per sostituzione, cioè sostituendo delle funzioni goniometriche, ma purtroppo non riesco a capire come integrare.
grazie in anticipo
Risposte
L'esercizio non chiede di calcolare il valore dell'integrale definito ma solo di dire per quali valori di $alpha $ l'integrale converge.
Il punto critico è senz'altro $ x=0 $ , se $alpha > 0 $ converge, quando $ alpha < 0 $ bisogna distinguere...
P.S. non avevo visto che chiede anche di calcolarlo per $ alpha = 1 $
Il punto critico è senz'altro $ x=0 $ , se $alpha > 0 $ converge, quando $ alpha < 0 $ bisogna distinguere...
P.S. non avevo visto che chiede anche di calcolarlo per $ alpha = 1 $
come fai a dire che per alfa maggiore di 0 converge? non ho capito. e poi se alfa è minore di zero significa che quella x è al denominatore il che mi fa pensare che se io lo confronto con 1/(x)^b per a=b l'integrale viene sommabile giusto?
Il senso che intende Camillo è proprio quello che dici tu. Se $\alpha\ge 0$ allora l'integrale converge sicuramente, dal momento che la funzione non presenta discontinuità nell'intervallo $[0,1]$. Se però $\alpha<0$ allora quella $x$ passa a denominatore e quindi crea problemi in $x=0$: in tal caso devi verificare la convergenza usando il risultato che afferma $\int_{x_0}^a\frac{1}{(x-x_0)^\beta\ dx<\infty$ se e solo se $\beta<1$.
Se $ alpha >0 $ la funzione integranda per $x=0 $ vale $0 $ e non dà quindi nessun problema.. ok ?
se $ alpha =0 $ la funzione integranda è $ 1/sqrt(x^2+2x+5) $ che nell'intorno di $x=0 $ è asintotica a $1/sqrt(5) $ quindi pure in questo caso nessun problema e l'integrale converge .
I problemi sorgono con $ alpha < 0 $ allora riscrivo così la funzione integranda$ 1/(x^(-alpha)*sqrt(x^2+2x+5)) $ e adesso va esamniato cosa succede nell'intorno di $x=0 $ : la funzione tende a $oo$ ma come ? dipende dal valore di $alpha $.
Se $alpha > -1 $ l'integrale converge ( quanto sta sotto radice tende a $sqrt(5)$ e quindi non dà problemi); se invece $ alpha =< -1 $ allora l'itegrale diverge , ok ?
se $ alpha =0 $ la funzione integranda è $ 1/sqrt(x^2+2x+5) $ che nell'intorno di $x=0 $ è asintotica a $1/sqrt(5) $ quindi pure in questo caso nessun problema e l'integrale converge .
I problemi sorgono con $ alpha < 0 $ allora riscrivo così la funzione integranda$ 1/(x^(-alpha)*sqrt(x^2+2x+5)) $ e adesso va esamniato cosa succede nell'intorno di $x=0 $ : la funzione tende a $oo$ ma come ? dipende dal valore di $alpha $.
Se $alpha > -1 $ l'integrale converge ( quanto sta sotto radice tende a $sqrt(5)$ e quindi non dà problemi); se invece $ alpha =< -1 $ allora l'itegrale diverge , ok ?
ok ho capito...grazie mille sia a te che a ciampax. mi siete stati davvero utili
"avmarshall":
ok ho capito...grazie mille sia a te che a ciampax. mi siete stati davvero utili
Ringrazia Camillo... io mi sono intromesso!
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