Integrale definito...
Ciao. Ho un problema a risolvere il seguente integrale definito:
$int_(sqrt{3})^(2 sqrt{2}) frac{sqrt{1+x^2}}{x} dx$
A me son venuti in mente alcuni metodi che però portano a un risultato leggermente complesso. Ad esempio, potrei scrivere $(1+x)^frac{1}{2}$... oppure usare la funzione $sinh$... voi come lo risolvereste? Mi basta solo lo spunto...
Grazie in anticipo!
$int_(sqrt{3})^(2 sqrt{2}) frac{sqrt{1+x^2}}{x} dx$
A me son venuti in mente alcuni metodi che però portano a un risultato leggermente complesso. Ad esempio, potrei scrivere $(1+x)^frac{1}{2}$... oppure usare la funzione $sinh$... voi come lo risolvereste? Mi basta solo lo spunto...
Grazie in anticipo!
Risposte
Si potrebbe comincerei col levare di mezzo una radice:
[tex]$\int \frac{\sqrt{1+x^2}}{x}\ \text{d} x =\int \frac{1+x^2}{x\sqrt{1+x^2}}\ \text{d} x $[/tex]
[tex]$=\int \frac{1}{x\sqrt{1+x^2}} \ \text{d} x + \int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\ \text{d} x $[/tex]
[tex]$=\int \frac{1}{x\sqrt{1+x^2}} \ \text{d} x + \sqrt{1+x^2}$[/tex],
però poi ti rimane da integrare quella zozzeria del primo addendo.
[tex]$\int \frac{\sqrt{1+x^2}}{x}\ \text{d} x =\int \frac{1+x^2}{x\sqrt{1+x^2}}\ \text{d} x $[/tex]
[tex]$=\int \frac{1}{x\sqrt{1+x^2}} \ \text{d} x + \int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\ \text{d} x $[/tex]
[tex]$=\int \frac{1}{x\sqrt{1+x^2}} \ \text{d} x + \sqrt{1+x^2}$[/tex],
però poi ti rimane da integrare quella zozzeria del primo addendo.
hai provato con la sostituzione? $x=(t^"-1)/(2t)$
Grazie ad entrambi!
GUGO82
Uhm, in effetti il primo addendo sarebbe un po' ostico da integrare... però potrei provarci!
ARHON17
Perché sostituisci a x il valore $frac{t-1}{2t}$? Cioè, $1+x^2 = t$ quindi $x^2=t-1$... Non capisco...
Se fosse $sqrt{1-x^2}$ allora sarebbe molto più semplice, perché potrei sostituire la $x$ con $sinx$... invece c'è un maledetto +!
GUGO82
Uhm, in effetti il primo addendo sarebbe un po' ostico da integrare... però potrei provarci!
ARHON17
Perché sostituisci a x il valore $frac{t-1}{2t}$? Cioè, $1+x^2 = t$ quindi $x^2=t-1$... Non capisco...
Se fosse $sqrt{1-x^2}$ allora sarebbe molto più semplice, perché potrei sostituire la $x$ con $sinx$... invece c'è un maledetto +!
mglio il metdo di gugo82...comunq io pensavo di sostituire $t-x=sqrt(x^2+1)$
Io farei così
$\int\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}dx=\frac{1}{2}\int\frac{2x\sqrt{1+x^2}}{x^2}dx=\frac{1}{2}\int\frac{\sqrt{1+y}}{y}dy$
dove $y=x^2$, che mi sembra un po' meglio. A questo punto $t=\sqrt{1+y}$ ... che dorebbe dare una funzione razionale di $t$ piu' semplice di quella degli altri metodi.
Ovviamente era lo stesso porre $t=\sqrt{1+x^2}$ dall'inizio (ma io ci sono arrivato così).
Tanto per dire qualcosa ...
$\int\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}dx=\frac{1}{2}\int\frac{2x\sqrt{1+x^2}}{x^2}dx=\frac{1}{2}\int\frac{\sqrt{1+y}}{y}dy$
dove $y=x^2$, che mi sembra un po' meglio. A questo punto $t=\sqrt{1+y}$ ... che dorebbe dare una funzione razionale di $t$ piu' semplice di quella degli altri metodi.
Ovviamente era lo stesso porre $t=\sqrt{1+x^2}$ dall'inizio (ma io ci sono arrivato così).
Tanto per dire qualcosa ...
Sicuramente meglio come suggerisce VG... Purtroppo non l'avevo visto.
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