Integrale definito
Ciao a tutti. Chiedevo l'opinione del forum su qualche metodo per calcolare il seguente integrale
$\int_0^\infty x/(e^x -1) dx$
Io ho provato qualcosa passando ai complessi e provando con diversi contorni....ma mi sono arenato. Allora ho consultato la solita wiki la quale propone questo (nella sezione finale, Appendix) che funziona... A qualcuno viene in mente qualcosa di lievemente più semplice?
$\int_0^\infty x/(e^x -1) dx$
Io ho provato qualcosa passando ai complessi e provando con diversi contorni....ma mi sono arenato. Allora ho consultato la solita wiki la quale propone questo (nella sezione finale, Appendix) che funziona... A qualcuno viene in mente qualcosa di lievemente più semplice?
Risposte
A occhio passando in $CC$ devi prendere qualche rettangolo come contorno... Però non ho fatto i conti.
Però se usi la serie geometrica mi sembra più facile...
Mettendo un $"e"^x$ in evidenza al denominatore, ti riconduci a $\int_0^(+oo) x"e"^(-x)*1/(1-e^(-x))" d"x$ e, visto che $00$ si trova:
$\int_r^(+oo) x"e"^(-x)*1/(1-"e"^(-x))" d"x=\int_r^(+oo) x"e"^(-x)\sum_(n=0)^(+oo)"e"^(-nx) " d"x$
$\quad \quad =\sum_(n=1)^(+oo) \int_r^(+oo) x"e"^(-nx)" d"x$
con integrazione t.a.t. lecita per convergenza totale.
Fissato $n\in NN$, l'integrale $\int_r^(+oo) x"e"^(-nx)" d"x$ si calcola con metodi elementari (per parti):
$\int_r^(+oo) x"e"^(-nx)" d"x=-1/n[x"e"^(-nx)]_r^(+oo)+1/n\int_r^(+oo)"e"^(-nx)" d"x$
$\quad \quad =1/nr"e"^(-nr)-1/n^2["e"^(-nx)]_r^(+oo)$
$\quad \quad =1/nr"e"^(-nr)+1/n^2"e"^(-nr)$
$\quad \quad=(r/n+1/n^2)"e"^(-nr)$
cosicché:
$\int_r^(+oo) x/("e"^x-1)" d"x=\sum_(n=1)^(+oo)(r/n+1/n^2)"e"^(-nr)$
La serie di funzioni di $r$ a secondo membro è totalmente convergente in $[0,+oo[$ (infatti con un po' di conti si trova che il massimo di $f_n(r):=(r/n+1/n^2)"e"^(-nr)$ è preso in $r=0$ ed è pari a $1/n^2$), quindi si può passare al limite sotto il segno di sommatoria e scrivere:
$\int_0^(+oo) x/("e"^x-1)" d"x=\sum_(n=1)^(+oo)1/n^2$
Visto che la somma a secondo membro vale $pi^2/6$, si ha infine:
$\int_0^(+oo) x/("e"^x-1)" d"x= pi^2/6$.
Però se usi la serie geometrica mi sembra più facile...
Mettendo un $"e"^x$ in evidenza al denominatore, ti riconduci a $\int_0^(+oo) x"e"^(-x)*1/(1-e^(-x))" d"x$ e, visto che $0
$\int_r^(+oo) x"e"^(-x)*1/(1-"e"^(-x))" d"x=\int_r^(+oo) x"e"^(-x)\sum_(n=0)^(+oo)"e"^(-nx) " d"x$
$\quad \quad =\sum_(n=1)^(+oo) \int_r^(+oo) x"e"^(-nx)" d"x$
con integrazione t.a.t. lecita per convergenza totale.
Fissato $n\in NN$, l'integrale $\int_r^(+oo) x"e"^(-nx)" d"x$ si calcola con metodi elementari (per parti):
$\int_r^(+oo) x"e"^(-nx)" d"x=-1/n[x"e"^(-nx)]_r^(+oo)+1/n\int_r^(+oo)"e"^(-nx)" d"x$
$\quad \quad =1/nr"e"^(-nr)-1/n^2["e"^(-nx)]_r^(+oo)$
$\quad \quad =1/nr"e"^(-nr)+1/n^2"e"^(-nr)$
$\quad \quad=(r/n+1/n^2)"e"^(-nr)$
cosicché:
$\int_r^(+oo) x/("e"^x-1)" d"x=\sum_(n=1)^(+oo)(r/n+1/n^2)"e"^(-nr)$
La serie di funzioni di $r$ a secondo membro è totalmente convergente in $[0,+oo[$ (infatti con un po' di conti si trova che il massimo di $f_n(r):=(r/n+1/n^2)"e"^(-nr)$ è preso in $r=0$ ed è pari a $1/n^2$), quindi si può passare al limite sotto il segno di sommatoria e scrivere:
$\int_0^(+oo) x/("e"^x-1)" d"x=\sum_(n=1)^(+oo)1/n^2$
Visto che la somma a secondo membro vale $pi^2/6$, si ha infine:
$\int_0^(+oo) x/("e"^x-1)" d"x= pi^2/6$.
Ehi....grazie per la risposta celere e rigorosa però io studio fisica e se devo essere sincero non ho molta dimestichezza con la zeta di Riemann. Quello che avevo pensato io era di considerare
$\int_0^\infty x /(e^x -1) dx = -i \ [d/(dk) \int_0^\infty e^(ikx) /(e^x -1) dx ]_(k=0)$
così all'integranda compare un polo in zero....però poi mi blocco perchè non so scegliere il contour giusto....
$\int_0^\infty x /(e^x -1) dx = -i \ [d/(dk) \int_0^\infty e^(ikx) /(e^x -1) dx ]_(k=0)$
così all'integranda compare un polo in zero....però poi mi blocco perchè non so scegliere il contour giusto....
Scusa, ma che c'entra la $\zeta$?
Cioè... Lo so che la $zeta$ c'entra, ma non l'ho tirata in ballo appositamente per non incasinarci.
Se ti crea problemi la somma della serie $\sum 1/n^2$, sappi che ci si può arrivare in diversi modi.
Ad esempio, se proprio ti piace l'Analisi Complessa, dallo sviluppo in serie di frazioni della funzione meromorfa $pi tg (piz)$ e di alcune sue derivate (cfr. Greco (1967), Complementi di Analisi, Liguori, cap. XI, §5).
Oppure, più semplicemente, basta ricorrere allo sviluppo in serie di Fourier della funzione $f(x)=x$ in $[-pi,pi]$ (prolungata per periodicità su $RR$) ed all'identità di Parseval.
Cioè... Lo so che la $zeta$ c'entra, ma non l'ho tirata in ballo appositamente per non incasinarci.
Se ti crea problemi la somma della serie $\sum 1/n^2$, sappi che ci si può arrivare in diversi modi.
Ad esempio, se proprio ti piace l'Analisi Complessa, dallo sviluppo in serie di frazioni della funzione meromorfa $pi tg (piz)$ e di alcune sue derivate (cfr. Greco (1967), Complementi di Analisi, Liguori, cap. XI, §5).
Oppure, più semplicemente, basta ricorrere allo sviluppo in serie di Fourier della funzione $f(x)=x$ in $[-pi,pi]$ (prolungata per periodicità su $RR$) ed all'identità di Parseval.
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