Integrale definito

[Giova411]

$int_sqrt(2)^2 1/(t^3sqrt(t^2-1) )dt$

Usando la sostituzione $t=sec theta$ devo cambiare gli estremi di definizione che sono $sqrt(2) $ e $ 2$.
Ma come si fa? Come devo calcolarli i nuovi estremi?

[Sk_Anonymous]

Puoi risolvere con la sostituzione fatta ed esprimere la soluzione trovata come fai per gli integrali indefiniti;in questo caso,fatta la sostituzione alla primitiva trovata,gli estremi sono quelli di partenza.

Puoi invece decidere di trasformare l'integrale dato tutto in funzione di $theta$

Hai posto $t=sectheta$;devi semplicemente sostituire a t una volta il valore $sqrt2$ e la seconda volta $2$ e risolvere le equazioni che ti daranno gli estremi nuovi.

[Giova411]

Ci avevo provato ma non lo so fare bene.
Quanto verebbero gli estremi nuovi?

[Giova411]

alla fine arrivo a:
$1/2*([x]_?^? + 1/4*[ sin x]_?^?)$

[fabry1985mi]

Dato che

$sectheta = 1/costheta$

ottieni:

$1/costheta = 2 Leftrightarrow costheta = 1/2 Leftrightarrow theta = pi/3$

similmente:

$1/costheta = sqrt(2) Leftrightarrow costheta = 1/sqrt(2) = sqrt(2)/2 Leftrightarrow theta = pi/6$

[fabry1985mi]

scusa, ma nella seconda equazione la soluzione è:

$theta = pi/4$

[Nidhogg]

Ciao fabry e benvenuto nel nostro forum! Quando devi modificare un post c'è il tasto edit che ti permette appunto di editare il messaggio!

Saluti, Ermanno.

[Giova411]

si poi ci sono arrivato pian piano. Visto che ci siamo, oltre a questa, ho fatto un'altra sostituzione che riguardava:

$int_(pi/4)^(pi/3) cos 2x$

Ecco qui sostituisco: $ 2x = u$
i nuovi estremi sono: $]_(pi/2)^(2pi/3)$ ??

Giusto?
Grazie

[Giova411]

Forse ci sono... Il risultato finale potrebbe essere:
$pi/24 + sqrt(3)/8 -1/4$

Se qualcuno l'ha fatto o lo vuole fare...

Grazie a tutti,
buona serata!

[_nicola de rosa]

"Giova411":Forse ci sono... Il risultato finale potrebbe essere:
$pi/24 + sqrt(3)/8 -1/4$

Se qualcuno l'ha fatto o lo vuole fare...

Grazie a tutti,
buona serata!

con la sostituzione $t=1/(cos theta)->dt=(sin theta)/(cos^2 theta)d theta$. Inoltre
$t=sqrt2->theta=pi/4,t=2->theta=pi/3$ per cui
$int_{sqrt2}^{2}1/(t^3sqrt(t^2-1))dt=int_{pi/4}^{pi/3}cos^2 theta*d theta=[theta/2+1/4*sin 2theta]_{pi/4}^{pi/3}=pi/24-1/4+sqrt3/8$

[Giova411]

Ottimo, grazie!