Integrale definito

[belgy]

chi sa cortesemente svolgere questo integrale ed aggiungere qualche breve spiegazione?

int fra 0 e Pgreco di [sen^3(x)]/[cos(x)-2]^2 in dx

[goblyn]

fai la sostituzione t=tg(x/2)

x=2*atg(x)

dx=2dt/(1+t^2)

l'integranda diventa:

[16t^3] / [ (1+t^2)^2 * (1+3t^2)^2 ] dt

non resta che scomporla in addendi semplici... è un po' lungo...
comincia a farlo... poi vado avanti! magari aiutati con qualche programmino!

[goblyn]

...va beh dai alla fine l'ho fatto io...

la funzione integranda si scompone così:

-8t/(1+t^2) - 4t/[(1+t^2)^2] + 24t/(1+3t^2) - 12t/[(1+3t^2)^2] dt

che integrata dà:

4*log[(1+3t^2)/(1+t^2)] + 2*[ 1/(1+t^2) + 1/(1+3t^2) ]

se x va da 0 a pi, allora t va da 0 a +inf. Calcoliamo l'ultima espressione tra 0 e + inf e otteniamo il risultato finale:

4*(log(3)-1)

goblyn

Modificato da - goblyn il 04/09/2003 23:50:25

[belgy]

innanzitutto grazie per la risposta, poi volevo chiederti come hai fatto a trovare quel t=...
(non ho ancora ben capito come sostituirlo nell'integrale ma penso e spero di arrivarci)

a che santo ti sei rivolto? oppure utilizzi un programma che aiuta in queste brutte situazioni?

[goblyn]

nessun santo... t=tg(x/2) è una sostituzione classica che spesso risolve situazioni intricate con i seni e i coseni...

la scomposizione della frazione alla fine l'ho fatta a mano!

Ciao!

P.S.: dimenticavo... se t=tg(x/2) allora

sin(x) = 2t/(1+t^2)
cos(x) = (1-t^2)/(1+t^2)

Modificato da - goblyn il 05/09/2003 11:07:03