Integrale definito
Buonasera a tutti. Scrivo per avere dei chiarimenti in merito alla risoluzione dell'integrale definito:
$ int_(1)^(9) ln(x+3sqrt(x)) dx $.
Inizialmente l'ho considerato come integrale indefinito da risolvere per parti, ovvero:
$ int_(1)^(9) ln(x+3sqrt(x)) dx = $ $ xln(x+3sqrtx) - int_ () (1+3/(2sqrtx))/(x+3sqrtx)xdx $
Da qui ho pensato di applicare la sostituzione di $ sqrtx $ con t nell'integrale $ int_ () (1+3/(2sqrtx))/(x+3sqrtx)xdx $, per avere:
$ 2 int_ () t^3(1+3/(2t))/(t^2+3t)dt = 2 int_ () (t^3+3/2t^2)/(t^2+3t)dt = 2 int_ () (t^2+3/2t)/(t+3)dt = $ $ 2 [int(t^2)/(t+3)dt + 3/2int t/(t+3) dt] = $ $ t^2-6t-27+3(t-3ln(abs(t+3)) + c $.
Quindi sono ritornato alla variabile di partenza per avere: $ x-6sqrtx-27+3sqrtx-9ln(sqrtx+3) + c $.
Da qui ho calcolato negli estremi di integrazione per avere come risultato finale dell'integrale definito: $ 9ln18+8ln4-9ln(sqrt3+3)-6sqrt3+3sqrt3+5 $.
Credo di aver utilizzato il ragionamento giusto, ma sicuramente ho sbagliato qualcosa nei calcoli. Potreste darmi una mano a risolverlo? Grazie in anticipo
$ int_(1)^(9) ln(x+3sqrt(x)) dx $.
Inizialmente l'ho considerato come integrale indefinito da risolvere per parti, ovvero:
$ int_(1)^(9) ln(x+3sqrt(x)) dx = $ $ xln(x+3sqrtx) - int_ () (1+3/(2sqrtx))/(x+3sqrtx)xdx $
Da qui ho pensato di applicare la sostituzione di $ sqrtx $ con t nell'integrale $ int_ () (1+3/(2sqrtx))/(x+3sqrtx)xdx $, per avere:
$ 2 int_ () t^3(1+3/(2t))/(t^2+3t)dt = 2 int_ () (t^3+3/2t^2)/(t^2+3t)dt = 2 int_ () (t^2+3/2t)/(t+3)dt = $ $ 2 [int(t^2)/(t+3)dt + 3/2int t/(t+3) dt] = $ $ t^2-6t-27+3(t-3ln(abs(t+3)) + c $.
Quindi sono ritornato alla variabile di partenza per avere: $ x-6sqrtx-27+3sqrtx-9ln(sqrtx+3) + c $.
Da qui ho calcolato negli estremi di integrazione per avere come risultato finale dell'integrale definito: $ 9ln18+8ln4-9ln(sqrt3+3)-6sqrt3+3sqrt3+5 $.
Credo di aver utilizzato il ragionamento giusto, ma sicuramente ho sbagliato qualcosa nei calcoli. Potreste darmi una mano a risolverlo? Grazie in anticipo
Risposte
Conviene fare subito la sostituzione $sqrt(x)=t$ ovvero $dx=2t dt$, ottenendo l'integrale (indefinito)
$int ln(t^2+3t)2tdt=$
e quindi integrando per parti:
$=t^2ln(t^2+3t)-int (t^2(2t+3))/(t^2+3t) dt =t^2ln(t^2+3t)-(t-3)*t - 9 log(t+3)$
da calcolare tra t=3 e t=1
$int ln(t^2+3t)2tdt=$
e quindi integrando per parti:
$=t^2ln(t^2+3t)-int (t^2(2t+3))/(t^2+3t) dt =t^2ln(t^2+3t)-(t-3)*t - 9 log(t+3)$
da calcolare tra t=3 e t=1
Forse anche notare che $\log(x+3\sqrt{x})=\log(\sqrt{x}(\sqrt{x}+3))=\log \sqrt{x}+\log(\sqrt{x}+3)=\frac{1}{2}\log(x)+\log(\sqrt{x}+3)$ può aiutare con i calcoli.
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