Integrale definito

[alBABInetto]

Sera

Vorrei capire come svolgere questo integrale: $int_0^pi sin^2(y)cos(y)dy$

Ho provato varie sostituzioni ma mi ritrovo sempre con estremi poco validi. Come si fa

[Mephlip]

Buonasera! Chi è $\frac{\text{d}}{\text{d}y}(\frac{1}{3} \sin^3 (y))$? In generale, quando vedi comparire sotto il segno di integrale una funzione moltiplicata per la sua derivata, potrebbe trattarsi della derivata di una funzione composta.

[alBABInetto]

Certo che si, ma non mi convinceva molto il fatto che è definito e ho per estremi 0 e pi. Non perdo l'invertibilità?

[alBABInetto]

Ah no che stupido, ho capito solo ora. Pensavo mi dicessi di fare un integrale per sostituzione, invece non stai sfruttando quello.

[pilloeffe]

Ciao alBABInetto,

"alBABInetto":Pensavo mi dicessi di fare un integrale per sostituzione [...]

A scanso di equivoci, ciò che ti sta dicendo Mephlip è che l'integrale proposto è immediato, in quanto il corrispondente integrale indefinito è del tipo

$\int f^n(y) f'(y)\text{d}y = (f^{n + 1}(y))/(n + 1) + c $

con $f(y) = sin(y) $ e $n = 2 $. Pertanto l'integrale definito proposto è nullo.

[alBABInetto]

Sisì ho compreso quello. Il fatto è che mi ostinavo a risolverlo per sostituzione y=cos(t) e il quel caso so che la funzione dovrebbe essere invertibile tra gli estremi

[Mephlip]

Sì esatto, non sto procedendo per sostituzione e sottoscrivo quanto detto da pilloeffe. Un altro modo di vedere che l'integrale è nullo è porre $y=\pi-t$.

Comunque, non mi torna quello che stai dicendo qui:

"alBABInetto":
Ho provato varie sostituzioni ma mi ritrovo sempre con estremi poco validi. Come si fa

E qui:

"alBABInetto":Certo che si, ma non mi convinceva molto il fatto che è definito e ho per estremi 0 e pi. Non perdo l'invertibilità?

Che intendi con poco validi e perdere invertibilità? Ma non è che qui:

"alBABInetto":Sisì ho compreso quello. Il fatto è che mi ostinavo a risolverlo per sostituzione y=cos(t) e il quel caso so che la funzione dovrebbe essere invertibile tra gli estremi

intendevi (e in effetti sarebbe molto più sensato il problema dell'invertibilità) porre $t=\sin y$?

[Fermat3423]

"alBABInetto":Ho provato varie sostituzioni ma mi ritrovo sempre con estremi poco validi. Come si fa

Come ha detto Mephlip conviene utilizzare la sostituzione: $t=sen(y)$ poichè "hai già pronto" il $dt$, ovvero: $dt = cos(y)dy$. Così facendo ti accorgerai che l'integrale è nullo.

[Mephlip]

@Fermat3423: Volevo arrivare proprio qua, non vale l'uguaglianza e quindi a rigore non si può dedurre che l'integrale è nullo dopo la sostituzione $t=\sin y$ perché ha gli estremi di integrazione coincidenti (si è discusso di un problema simile nei primi messaggi di questo post).

Un esempio più concreto del perché questo argomento è fallace è il seguente: consideriamo l'integrale $\int_0^{2\pi} \frac{\text{d}x}{5+4\cos x}$, se si sostituisce $t=\tan(x/2)$ e si sostituiscono brutalmente gli estremi di integrazione si ottiene un integrale tra $0$ e $0$. Ma da $t=\tan(x/2)$ si deduce che $x \in(-\pi,\pi)$, quindi non vale l'uguaglianza data dal teorema di integrazione per sostituzione. Infatti, l'integrale è strettamente positivo (perché la funzione integranda è positiva e continua in almeno un punto dell'intervallo $[0,2\pi]$) e perciò non può essere nullo.