Integrale definito

[ValeForce]

Salve a tutti!
Sto sbagliando il calcolo di questo integrale, mi aiutate a capire cosa c'è che non va?
$\int_0^{2 pi}\sqrt{1-cost} \ dt$
Prima trovo la primitiva e poi calcolo l'integrale definito
$\int \sqrt{1-\cos t} \ dt= - 2 \sqrt{1+\cos t} + c$ effettuando la sostituzione $cost=u$.
Dunque $\int_0^{2 pi}\sqrt{1-cost} \ dt = -2 [ \sqrt{1+\cos t}] _0^{2 pi} = 0$

[dissonance]

Ecco perché è meglio fare i conti con gli integrali definiti, e non con quelli indefiniti, che chiamano a gran voce gli errori. La sostituzione \(\cos t=u\) è valida solo nell'intervallo \(t\in [0, \pi/2]\) o in \([\pi/2, \pi]\), etc... Ovvero, solo negli intervalli in cui il coseno è invertibile. Perciò, rifai il conto suddividendo l'integrale definito in quattro parti, per prima cosa. (Se vuoi risparmiare lavoro, osserva che la funzione integranda è simmetrica rispetto a \(\pi\), quindi basta calcolare \(2\int_0^\pi\sqrt{1-\cos t}\,dt\)).

Vuoi vedere esattamente dov'è l'errore? Tu dici che
\[
\int\sqrt{1-\cos t}\, dt = -2\sqrt{1+\cos t}+C, \]
ma questo è vero solo per \(t\in [0, \pi]\), infatti
\[
\frac{d}{dt}\left( -2\sqrt{1+\cos t}\right) = \frac{\sin t}{\sqrt{1+\cos t}}, \]
che è una funzione negativa per \(t\in [\pi, 2\pi]\), come fa ad essere uguale a \(\sqrt{1-\cos t}\)???

[ValeForce]

Grazie dissonance.
Come ho fatto a non ricordare che serve l'invertibilità... Almeno adesso la mia curva non ha più lunghezza nulla...