Integrale definito

[MyMaster]

Salve, avrei bisogno di un aiuto con questo integrale definito, non so proprio da dove partire
$ int_(0)^(2)|x-1|/(x+1) dx $

[gugo82]

"Non sapere da dove partire" is not an option… Hai un valore assoluto: qual è la prima cosa che ti viene in mente da fare?

[MyMaster]

Ciao gugo, ho provato a studiarne il segno ottenendo il sistema sottostante rispettivamente per x>= 1 e per x<1, ma onestamente ho pensato che fosse sbagliato come ragionamento. Così ho poi provato l'integrazione per parti, ma mi sono perso tra valori assoluti e derivate $ { ( (x-1)/(x+2) ),((1-x)/(x+2)):} $

[gugo82]

Sì, distinguere i casi.
Dato che:

$|x-1| = \{ (x-1, text(, se ) x >= 1), (-(x-1), text(, se ) x<1):}$

e dato che vale la proprietà additiva dell'integrale, hai:

$int_0^2 (|x-1|)/(x+1) text(d) x = - int_0^1 (x-1)/(x+1) text(d) x + int_1^2 (x-1)/(x+1) text(d) x$

e da qui sai continuare.

[pilloeffe]

Ciao MyMaster,

Benvenuto sul forum!

"MyMaster":Così ho poi provato l'integrazione per parti [...]

Esagerato: sommando e sottraendo $1$ al numeratore degli integrali che ti ha già scritto gugo82 ottieni integrali immediati...
Alla fine dei conti dovresti pervenire al risultato seguente:

$ \int_0^2 |x-1|/(x+1) \text{d}x = 2 ln(4/3) = ln(16/9) $

[MyMaster]

"gugo82":Sì, distinguere i casi.
Dato che:

$|x-1| = \{ (x-1, text(, se ) x >= 1), (-(x-1), text(, se ) x<1):}$

e dato che vale la proprietà additiva dell'integrale, hai:

$int_0^2 (|x-1|)/(x+1) text(d) x = - int_0^1 (x-1)/(x+1) text(d) x + int_1^2 (x-1)/(x+1) text(d) x$

e da qui sai continuare.

Tutto chiaro, grazie mille

[MyMaster]

"pilloeffe": Esagerato:

purtroppo non sapevo cosa fare allora sono andato un pò per tentativi