Integrale definito
$\int_0^R r/((r^2+x^2)^(3/2))dr$
premetto che questo integrale è per la risoluzione di un problema di fisica però il problema non è fisico ma di analisi...come lo posso risolvere questo integrale...avevo pensato per sostituzione ponendo il denominatore uguale a t ma poi esce fuori un mostro...qualche suggerimento?
premetto che questo integrale è per la risoluzione di un problema di fisica però il problema non è fisico ma di analisi...come lo posso risolvere questo integrale...avevo pensato per sostituzione ponendo il denominatore uguale a t ma poi esce fuori un mostro...qualche suggerimento?
Risposte
Ciao!
Solitamente in questo tipo di integrale si sfrutta una sostituzione classica
Solitamente in questo tipo di integrale si sfrutta una sostituzione classica
$x=rtan(z)$ con $z in (-pi/2,pi/2)$
chiedo venia ma questa è analisi 2?
No è analisi 1
evidentemente avrò fatto poca pratica oppure sarò stato molto fortunato ma una casistica del genere non mi è mai capitata...di solito la tangente la sostituivo per integrali trigonometrici...ergo in questo coso non saprei proseguire
qualche altro input?
qualche altro input?
Se hai più familiarità con le sostituzioni iperboliche, puoi provare a porre $x=r\sinhy$; in fondo però è lo stesso suggerimento di anto_zoolander, in quanto entrambe le sostituzioni si basano sulle relazioni
$$\sec^2 x - \tan^2 x =1$$
$$\cosh^2 x -\sinh^2 x =1$$
Chiaramente l'una o l'altra possono essere più o meno comode in base alla funzione integranda, in questo caso penso che il suggerimento di anto_zoolander sia più efficace (probabilmente hai più dimestichezza con le funzioni goniometriche).
Comunque sono sostituzioni abbastanza standard!
$$\sec^2 x - \tan^2 x =1$$
$$\cosh^2 x -\sinh^2 x =1$$
Chiaramente l'una o l'altra possono essere più o meno comode in base alla funzione integranda, in questo caso penso che il suggerimento di anto_zoolander sia più efficace (probabilmente hai più dimestichezza con le funzioni goniometriche).
Comunque sono sostituzioni abbastanza standard!
Tra l'altro questo integrale, dopo la sostituzione, diventa veramente facile:
diciamo che l'idea di questa sostituzione deriva dal fatto che, come ha fatto notare mep, $tan^2(x)+1=1/cos^2(x)$
e che quindi la radice "sparisce"; la derivata di $tan$ inoltre ha la proprietà per cui $D[tan(x)]=tan^2(x)+1$
quindi diventa $int_(0)^(pi/4)r/(r^2+r^2tan^2(z))^(3/2)*r(tan^2(z)+1)dz$
con tutte le cose che si sono dette da qui potrai risolverlo autonomamente.
diciamo che l'idea di questa sostituzione deriva dal fatto che, come ha fatto notare mep, $tan^2(x)+1=1/cos^2(x)$
e che quindi la radice "sparisce"; la derivata di $tan$ inoltre ha la proprietà per cui $D[tan(x)]=tan^2(x)+1$
$x=rtan(z) => dx=r(tan^2(z)+1)dz$
$rtan(z)=0 => z=0$ e $rtan(z)=r => z=pi/4$
quindi diventa $int_(0)^(pi/4)r/(r^2+r^2tan^2(z))^(3/2)*r(tan^2(z)+1)dz$
con tutte le cose che si sono dette da qui potrai risolverlo autonomamente.
Ciao lepre561,
Sì: l'integrale indefinito relativo a quello proposto è immediato in quanto facilmente riconducibile alla forma seguente:
$\int [f(r)]^{\alpha}f'(r) \text{d}r $
ove nel caso in esame $f(r) := r^2 + x^2 $ e $\alpha := - 3/2 $
"lepre561":
qualche altro input?
Sì: l'integrale indefinito relativo a quello proposto è immediato in quanto facilmente riconducibile alla forma seguente:
$\int [f(r)]^{\alpha}f'(r) \text{d}r $
ove nel caso in esame $f(r) := r^2 + x^2 $ e $\alpha := - 3/2 $
"pilloeffe":
Ciao lepre561,
[quote="lepre561"]qualche altro input?
Sì: l'integrale indefinito relativo a quello proposto è immediato in quanto facilmente riconducibile alla forma seguente:
$\int [f(r)]^{\alpha}f'(r) \text{d}r $
ove nel caso in esame $f(r) := r^2 + x^2 $ e $\alpha := - 3/2 $[/quote]
infatti l'ho risolto...ci sono arrivato dopo non capisco perchè i tuoi colleghi hanno usato formule cosi complesse...
Perché né io né mep c'eravamo accorti che l'integrale fosse in $dr$ 
"anto_zoolander":
Perché né io né mep c'eravamo accorti che l'integrale fosse in dr
Infatti secondo me avevate in mente questo, che in effetti si risolve con la sostituzione che hai citato...
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