Integrale definito

[Antonio_80]

Non sto riuscendo a risolvere il seguente integrale $t=int_0^(V_f) (dV)/(a_o - cV^2)$

Qualcuno puo’ per facore aiutarmi a risolverlo?

Help!

[feddy]

Fratti semplici: cerca $A,B \in RR$ tali che $\frac{1}{a_0 - cV^2} = \frac{AV + B}{a_0 - cV^2}$, poi si tratta di due integralucci

[johnhappy1]

Ciao feddy. Se $a_0$ è positivo, puoi vedere il denominatore come una differenza di quadrati, decomporlo nel prodotto della somma e differenza delle radici, e usare il metodo di scomposizione in fratti semplici per ottenere due frazioni di cui poi puoi calcolare l'integrale senza grandi problemi.

[feddy]

Sì @johnhappy è vero, l'ho dato per scontato perché ho supposto che quell'integrale avesse un certo valore "fisico", visto il $dV$

[pilloeffe]

Ciao Antonio_80,

Risolvendo prima l'integrale indefinito relativo e supponendo $a_0 $ e $c $ positivi, si ha:

$\int (dV)/(a_0 - cV^2) = 1/a_0 \int (dV)/(1 - cV^2/a_0) = 1/a_0 \int (dV)/(1 - (\sqrt{c/a_0} V)^2) $

Posto $x := \sqrt{c/a_0} V \implies dx = \sqrt{c/a_0} dV \implies dV = \sqrt{a_0/c} dx $, si ha:

$\int (dV)/(a_0 - cV^2) = 1/a_0 \int (dV)/(1 - (\sqrt{c/a_0} V)^2) = 1/\sqrt{a_0 c }\int (dx)/(1 - x^2) = $
$ = \frac{1}{2\sqrt{a_0 c }}[\int (dx)/(1 + x) + \int (dx)/(1 - x)] = \frac{1}{2\sqrt{a_0 c }}\ln|(1 + x)/(1 - x)| + c = $
$ = \frac{1}{2\sqrt{a_0 c }}\ln|(1 + \sqrt{c/a_0} V )/(1 - \sqrt{c/a_0} V )| + c $

Dunque per l'integrale definito proposto si ha:

$ t = \int_0^{V_f} (dV)/(a_0 - cV^2) = [\frac{1}{2\sqrt{a_0 c }}\ln|(1 + \sqrt{c/a_0} V )/(1 - \sqrt{c/a_0} V )| ]_0^{V_f} = \frac{1}{2\sqrt{a_0 c }}\ln|(1 + \sqrt{c/a_0} V_f )/(1 - \sqrt{c/a_0} V_f )| $

@feddy: la scomposizione che hai proposto non è di grande utilità perché ovviamente otterresti $A = 0 $ e $B = 1 $ ...

[feddy]

ops mi cospargo il capo di cenere grazie @pilloeffe, non avendo svolto i conti non me ne sono accorto

[Antonio_80]

Grazie ragazzi, è piacevole confrontarsi con voi!