Integrale definito
$ int_(0)^(1) root()((x+1))/(x) dx $
il risultato cambiando anche le variabili 0 ed 1 mi esce $ [ln |1+t|-ln |1-t|-2t] $ da calcolare tra $ 1 $ e $ root()(2) $
ma non capisco il risultato finale perchè cercando la soluzione su symbolab mi dice che diverge. Qualcuno potrebbe spiegarmi? Grazie mille in anticipo.
il risultato cambiando anche le variabili 0 ed 1 mi esce $ [ln |1+t|-ln |1-t|-2t] $ da calcolare tra $ 1 $ e $ root()(2) $
ma non capisco il risultato finale perchè cercando la soluzione su symbolab mi dice che diverge. Qualcuno potrebbe spiegarmi? Grazie mille in anticipo.
Risposte
La funzione che stai integrando non è definita in $0$, l'unico senso in cui può esistere l'integrale è che sia finito il limite
\[
\lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{\epsilon}^1 \frac{\sqrt{x+1}}{x}dx
\]Ora, puoi osservare che l'integranda è asintotica a \(x^{-1/2}\) e che quindi l'integrale converge.
\[
\lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{\epsilon}^1 \frac{\sqrt{x+1}}{x}dx
\]Ora, puoi osservare che l'integranda è asintotica a \(x^{-1/2}\) e che quindi l'integrale converge.
"killing_buddha":
La funzione che stai integrando non è definita in $0$, l'unico senso in cui può esistere l'integrale è che sia finito il limite
\[
\lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{\epsilon}^1 \frac{\sqrt{x+1}}{x}dx
\]Ora, puoi osservare che l'integranda è asintotica a \(x^{-1/2}\) e che quindi l'integrale converge.
Il caldo fa brutti scherzi...
L'integrale diverge perché l'integrando è positivo ed infinito d'ordine $1$ in $0$.
Vedi cosa succede? Se non ci fossero così tanti sbarbati che chiedono cose di analisi potrebbe quasi sembrare che la so.
Ciao gionni98,
La spiegazione è che i software hanno ragione. Nel caso specifico poi l'integrale è semplice, quindi si può risolvere il corrispondente indefinito e poi a seguire il definito. L'integrale indefinito è il seguente:
$ \int (\sqrt(x+1))/(x) dx $
Posto $t := sqrt{x + 1} \implies dt = frac{dx}{2 sqrt{x + 1}} = frac{dx}{2 t} \implies dx = 2t dt $ si ha $x = t^2 - 1 $ per cui si ha:
$ \int (\sqrt(x+1))/(x) dx = 2 \int frac{t^2}{t^2 - 1} dt = 2 \int frac{t^2 - 1 + 1}{t^2 - 1} dt = 2 \int (1 + frac{1}{t^2 - 1}) dt = 2t + \int \frac{2}{t^2 - 1} dt = $
$ = 2t + \int (frac{1}{t - 1} - frac{1}{t + 1}) dt = 2t + \int frac{dt}{t - 1} - \int frac{dt}{t + 1} = 2t + ln(1 - t) - ln(1 + t) + c = $
$ = 2 sqrt{x + 1} + ln(1 - sqrt{x + 1}) - ln(1 + sqrt{x + 1}) + c = 2 sqrt{x + 1} + ln(frac{1 - sqrt{x + 1}}{1 + sqrt{x + 1}}) + c $
Perciò si ha:
$ \int_0^1 (\sqrt(x+1))/(x) dx = \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{\epsilon}^1 \frac{\sqrt{x+1}}{x} dx = \lim_{\epsilon \to 0^+} [2 sqrt{x + 1} + ln(frac{1 - sqrt{x + 1}}{1 + sqrt{x + 1}})]_{\epsilon}^1 = $
$ = \lim_{\epsilon \to 0^+} [2 sqrt{2} + ln(frac{1 - sqrt{2}}{1 + sqrt{2}}) - 2 sqrt{\epsilon + 1} - ln(frac{1 - sqrt{\epsilon + 1}}{1 + sqrt{\epsilon + 1}})] = +\infty $
"gionni98":
non capisco il risultato finale perchè cercando la soluzione su symbolab mi dice che diverge. Qualcuno potrebbe spiegarmi?
La spiegazione è che i software hanno ragione. Nel caso specifico poi l'integrale è semplice, quindi si può risolvere il corrispondente indefinito e poi a seguire il definito. L'integrale indefinito è il seguente:
$ \int (\sqrt(x+1))/(x) dx $
Posto $t := sqrt{x + 1} \implies dt = frac{dx}{2 sqrt{x + 1}} = frac{dx}{2 t} \implies dx = 2t dt $ si ha $x = t^2 - 1 $ per cui si ha:
$ \int (\sqrt(x+1))/(x) dx = 2 \int frac{t^2}{t^2 - 1} dt = 2 \int frac{t^2 - 1 + 1}{t^2 - 1} dt = 2 \int (1 + frac{1}{t^2 - 1}) dt = 2t + \int \frac{2}{t^2 - 1} dt = $
$ = 2t + \int (frac{1}{t - 1} - frac{1}{t + 1}) dt = 2t + \int frac{dt}{t - 1} - \int frac{dt}{t + 1} = 2t + ln(1 - t) - ln(1 + t) + c = $
$ = 2 sqrt{x + 1} + ln(1 - sqrt{x + 1}) - ln(1 + sqrt{x + 1}) + c = 2 sqrt{x + 1} + ln(frac{1 - sqrt{x + 1}}{1 + sqrt{x + 1}}) + c $
Perciò si ha:
$ \int_0^1 (\sqrt(x+1))/(x) dx = \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{\epsilon}^1 \frac{\sqrt{x+1}}{x} dx = \lim_{\epsilon \to 0^+} [2 sqrt{x + 1} + ln(frac{1 - sqrt{x + 1}}{1 + sqrt{x + 1}})]_{\epsilon}^1 = $
$ = \lim_{\epsilon \to 0^+} [2 sqrt{2} + ln(frac{1 - sqrt{2}}{1 + sqrt{2}}) - 2 sqrt{\epsilon + 1} - ln(frac{1 - sqrt{\epsilon + 1}}{1 + sqrt{\epsilon + 1}})] = +\infty $
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