Integrale definito

[Roxy981]

Salve a tutti ragazzi,mi presento di nuovo con questo fantastico integrale che non soi proprio come possa risolversi $\ \int_1^sqrt(2) (x^2-1)^(-1/2) x lnx\ \text{d} x $

[@melia]

Propongo prima per parti con $ (x^2-1)^(-1/2) x $ come fattore differenziale e $lnx$ come fattore finito e poi per sostituzione.

[21zuclo]

interessante questo integrale, io ho provato un po' a farlo indefinito, perché se conosco la primitiva allora posso calcolare l'integrale (mi sembra che il mio esercitatore diceva così)

allora $ \int(x^2-1)^(-1/2) x \lnx dx $

io ho pensato a fare $ x^2=t \to 2x dx=dt\to dx=(dt)/(2x) $

quindi $ x=\sqrt(t) $

e quindi si ottiene
$ 1/2\int (t-1)^(-1/2)\ln(\sqrt(t))dt=1/4[\int (t-1)^(-1/2) \ln(t)dt] $

a questo punto per parti, facendo $ f(x)=\ln t \to f'(x)=1/t $ e $ g'(t)=(t-1)^(-1/2)\to g(t)=2\sqrt(t-1) $

e quindi si ottiene

$ 1/4[2\sqrt(t-1)\ln(t)-2\int (\sqrt(t-1))/(t)dt] $

ora ti chiederai come fare a risolvere questo $\int (\sqrt(t-1))/(t)dt=\int t^(-1)(t-1)^(-1/2)$

quest'ultimo si chiama integrale binomio, sono quegli integrali di questa forma
$ \int x^(\alpha)(a+bx^(\beta))^(\gamma)dx $
con $ \alpha, \beta, \gamma \in QQ $

[allora praticamente se ti capita un integrale di questo tipo, esso è esprimibile in funzioni elementari se e solo se almeno uno
1. $\gamma$
2. $(\alpha+1)/(\beta)$
3. $\gamma+(\alpha+1)/(\beta)$
è un numero intero.

in particolare se $(\alpha+1)/(\beta)\in ZZ$ allora si ha la sostituzione $ u^n=a+bx^(\beta) $ ove $ n $ è il denominatore di $gamma$

è il nostro caso, perché noi abbiamo $ { ( \alpha=-1 ),( \beta=1 ),( \gamma=-1/2 ):} $

se facciamo $ (\alpha+1)/(\beta) \in ZZ $

in pratica devi fare la sostituzione $u^2=t-1$ .. ora continua tu

Prova!